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Identifikation, Analyse und Regelung nichtlinearer dynamischer Systeme mittels des Koopman-Operators, künstlicher neuronaler Netze und linearer Zustandsregler

Bonnert, Marcel (2022)
Identifikation, Analyse und Regelung nichtlinearer dynamischer Systeme mittels des Koopman-Operators, künstlicher neuronaler Netze und linearer Zustandsregler.
Technische Universität Darmstadt
doi: 10.26083/tuprints-00019959
Dissertation, Erstveröffentlichung, Verlagsversion

Kurzbeschreibung (Abstract)

Durch immer komplexer werdende technische Systeme und dem damit einher gehenden Bedarf an passenden Regelungsmethoden stellt sich die Frage, ob bestehende Methoden für die Identifikation, Analyse und Regelung von linearen Systemen in geeigneter Weise auch für nichtlineare Systeme anwendbar sind. Ein bekannter Ansatz hierfür ist die Linearisierung einer bekannten Systemgleichung oder die Identifikation eines nichtlinearen dynamischen Systems auf Basis eines solchen linearen Ansatzes. Eine solche Identifikation stellt dabei häufig eine große Herausforderung dar. Dies gilt insbesondere dann, wenn Daten aus dem Betrieb genutzt werden, ohne dass ein besonderes Augenmerk auf eine geeignete Anregung gelegt werden kann. Damit einher geht häufig, dass Daten aus geschlossenen Regelkreisen zu Problemen bei der Identifikation führen können. Eine eingehende Analyse des Systemverhaltens oder eine Regelung auf Basis eines Modells, welches das System nicht ausreichend gut, oder nur in einem sehr begrenzten Bereich des Zustandsraumes, wiedergibt, sind damit praktisch unmöglich.

Daher beschäftigt sich die vorliegende Arbeit mit dem sogenannten Koopman-Operator und dessen Identifikation und Nutzung zur Analyse und Regelung nichtlinearer Systeme. Dieser Operator ist ein mathematisches Konstrukt, welches es möglich macht, bestimmte Funktionen der Systemzustände eines nichtlinearen dynamischen Systems - sogenannte Observables - über diesen Operator linear mit der Zeit zu entwickeln. So ist es möglich, theoretisch fundiert lineare Konzepte wie Eigenbewegungen und lineare Analyse- und Regelungsmethoden auf nichtlineare Systeme zu übertragen. Insbesondere für Systeme mit Anregung können lineare Reglerentwurfsmethoden so auf nichtlineare Systeme angewendet werden, ohne starke Einschränkungen hinnehmen zu müssen, wie sie häufig Teil von nichtlinearen Regelungsmethoden sind. So müssen bei diesen nichtlinearen Entwurfsmethoden beispielsweise gewisse Bereiche des Zustandsraumes ausgeschlossen werden oder die Systemgleichung muss in einer speziellen Form vorliegen.

Durch den linearen Charakter des Koopman-Operators ist es auch möglich, Konzepte wie die Stabilität, welche bei linearen Modellen sehr einfach anhand der Eigenwerte der Systemmatrix bestimmt werden kann, auf nichtlineare Systeme zu übertragen. Hierfür werden in der vorliegenden Arbeit Konzepte für zeitdiskrete Modelle erarbeitet, wie sie häufig identifiziert werden. So kann anschaulich von der Stabilität des Koopman-linearen Systems auf die Stabilität des nichtlineare Systems geschlossen werden. Damit ist es außerdem möglich, eine Stabilitätsgarantie für nichtlineare Systeme anzugeben, welche über einen Zustandsregler auf Basis dieses Koopman-linearen Systems berechnet werden. Die in der vorliegende Arbeit betrachteten Nichtlinearitäten sind dabei ausschließlich kontinuierlich. So sind beispielsweise Systeme mit Hysteresen nicht Teil der Betrachtungen.

Für die Regelung ist die Steuerbarkeit des Prozesses von besonderer Bedeutung. Auch für diese wird in dieser Arbeit eine Eigenschaft von Koopman-linearen Systemen erarbeitet und für die Regelung genutzt. Bei der Regelung wird sich in dieser Arbeit auf den linear quadratischen Ansatz beschränkt. Hierfür müssen gewisse Gewichtungen gewählt werden, deren anschauliche Wahl durch die Observables stark erschwert wird. Um die direkte Interpretierbarkeit dieser Gewichtungen auf den Koopman-Operator und seine Observables zu übertragen, wird eine neue Methode vorgeschlagen, wie diese Gewichte im Koopman-Raum gewählt werden können.

Die nun mehrfach genannten Observables sind jedoch meist vollständig unbekannte Funktionen und sind häufig nur für hinführende Beispiele ohne konkrete praktische Relevanz herzuleiten oder bekannt. Um dennoch solche Systeme zu schätzen, werden in dieser Arbeit künstliche neuronale Netze verwendet. Diese sind in ihrer Gestalt als allgemeine Funktionsapproximatoren für den vorliegenden Anwendungsfall prädestiniert. Es wird somit ein Netz erstellt, welches zunächst Observables berechnet und damit den Zustand kodiert. Diese Observables werden im Anschluss mittels eines linearen Zustandsraumsystems mit der Zeit entwickelt und abschließend dekodiert.

Diese Konzepte werden dann dafür genutzt, zwei mathematische Systeme, den Van der Pol und den Duffing Oszillator, sowie einen realen Drei-Tank Prüfstand zunächst zu schätzen, im Anschluss anhand der identifizierten Modelle zu analysieren und die Ergebnisse zu plausibilisieren und im Nachgang zu regeln. Als Erweiterung der erstellten Konzepte wird dieselbe Methodik für den Fall, dass nicht alle Zustände gemessen werden können, auf die die genannten Systeme angewendet.

Typ des Eintrags: Dissertation
Erschienen: 2022
Autor(en): Bonnert, Marcel
Art des Eintrags: Erstveröffentlichung
Titel: Identifikation, Analyse und Regelung nichtlinearer dynamischer Systeme mittels des Koopman-Operators, künstlicher neuronaler Netze und linearer Zustandsregler
Sprache: Deutsch
Referenten: Konigorski, Prof. Dr. Ulrich ; Isermann, Prof. Dr. Rolf
Publikationsjahr: 2022
Ort: Darmstadt
Kollation: XIV, 149 Seiten
Datum der mündlichen Prüfung: 8 November 2021
DOI: 10.26083/tuprints-00019959
URL / URN: https://tuprints.ulb.tu-darmstadt.de/19959
Kurzbeschreibung (Abstract):

Durch immer komplexer werdende technische Systeme und dem damit einher gehenden Bedarf an passenden Regelungsmethoden stellt sich die Frage, ob bestehende Methoden für die Identifikation, Analyse und Regelung von linearen Systemen in geeigneter Weise auch für nichtlineare Systeme anwendbar sind. Ein bekannter Ansatz hierfür ist die Linearisierung einer bekannten Systemgleichung oder die Identifikation eines nichtlinearen dynamischen Systems auf Basis eines solchen linearen Ansatzes. Eine solche Identifikation stellt dabei häufig eine große Herausforderung dar. Dies gilt insbesondere dann, wenn Daten aus dem Betrieb genutzt werden, ohne dass ein besonderes Augenmerk auf eine geeignete Anregung gelegt werden kann. Damit einher geht häufig, dass Daten aus geschlossenen Regelkreisen zu Problemen bei der Identifikation führen können. Eine eingehende Analyse des Systemverhaltens oder eine Regelung auf Basis eines Modells, welches das System nicht ausreichend gut, oder nur in einem sehr begrenzten Bereich des Zustandsraumes, wiedergibt, sind damit praktisch unmöglich.

Daher beschäftigt sich die vorliegende Arbeit mit dem sogenannten Koopman-Operator und dessen Identifikation und Nutzung zur Analyse und Regelung nichtlinearer Systeme. Dieser Operator ist ein mathematisches Konstrukt, welches es möglich macht, bestimmte Funktionen der Systemzustände eines nichtlinearen dynamischen Systems - sogenannte Observables - über diesen Operator linear mit der Zeit zu entwickeln. So ist es möglich, theoretisch fundiert lineare Konzepte wie Eigenbewegungen und lineare Analyse- und Regelungsmethoden auf nichtlineare Systeme zu übertragen. Insbesondere für Systeme mit Anregung können lineare Reglerentwurfsmethoden so auf nichtlineare Systeme angewendet werden, ohne starke Einschränkungen hinnehmen zu müssen, wie sie häufig Teil von nichtlinearen Regelungsmethoden sind. So müssen bei diesen nichtlinearen Entwurfsmethoden beispielsweise gewisse Bereiche des Zustandsraumes ausgeschlossen werden oder die Systemgleichung muss in einer speziellen Form vorliegen.

Durch den linearen Charakter des Koopman-Operators ist es auch möglich, Konzepte wie die Stabilität, welche bei linearen Modellen sehr einfach anhand der Eigenwerte der Systemmatrix bestimmt werden kann, auf nichtlineare Systeme zu übertragen. Hierfür werden in der vorliegenden Arbeit Konzepte für zeitdiskrete Modelle erarbeitet, wie sie häufig identifiziert werden. So kann anschaulich von der Stabilität des Koopman-linearen Systems auf die Stabilität des nichtlineare Systems geschlossen werden. Damit ist es außerdem möglich, eine Stabilitätsgarantie für nichtlineare Systeme anzugeben, welche über einen Zustandsregler auf Basis dieses Koopman-linearen Systems berechnet werden. Die in der vorliegende Arbeit betrachteten Nichtlinearitäten sind dabei ausschließlich kontinuierlich. So sind beispielsweise Systeme mit Hysteresen nicht Teil der Betrachtungen.

Für die Regelung ist die Steuerbarkeit des Prozesses von besonderer Bedeutung. Auch für diese wird in dieser Arbeit eine Eigenschaft von Koopman-linearen Systemen erarbeitet und für die Regelung genutzt. Bei der Regelung wird sich in dieser Arbeit auf den linear quadratischen Ansatz beschränkt. Hierfür müssen gewisse Gewichtungen gewählt werden, deren anschauliche Wahl durch die Observables stark erschwert wird. Um die direkte Interpretierbarkeit dieser Gewichtungen auf den Koopman-Operator und seine Observables zu übertragen, wird eine neue Methode vorgeschlagen, wie diese Gewichte im Koopman-Raum gewählt werden können.

Die nun mehrfach genannten Observables sind jedoch meist vollständig unbekannte Funktionen und sind häufig nur für hinführende Beispiele ohne konkrete praktische Relevanz herzuleiten oder bekannt. Um dennoch solche Systeme zu schätzen, werden in dieser Arbeit künstliche neuronale Netze verwendet. Diese sind in ihrer Gestalt als allgemeine Funktionsapproximatoren für den vorliegenden Anwendungsfall prädestiniert. Es wird somit ein Netz erstellt, welches zunächst Observables berechnet und damit den Zustand kodiert. Diese Observables werden im Anschluss mittels eines linearen Zustandsraumsystems mit der Zeit entwickelt und abschließend dekodiert.

Diese Konzepte werden dann dafür genutzt, zwei mathematische Systeme, den Van der Pol und den Duffing Oszillator, sowie einen realen Drei-Tank Prüfstand zunächst zu schätzen, im Anschluss anhand der identifizierten Modelle zu analysieren und die Ergebnisse zu plausibilisieren und im Nachgang zu regeln. Als Erweiterung der erstellten Konzepte wird dieselbe Methodik für den Fall, dass nicht alle Zustände gemessen werden können, auf die die genannten Systeme angewendet.

Alternatives oder übersetztes Abstract:
Alternatives AbstractSprache

Since technical systems are getting more and more complex, suitable control methods are required. To analyze such nonlinear systems, one may ask the question how already existing methods for identification, analysis and control can be applied to them. A well-known approach is the linearization of a known differential equation or an identification of the nonlinear dynamical system referring to the assumption, that a linear or linearized system fits the data. Such an identification is a great challenge when using data from a real-world plant or from closed loop environments. Therefore, a deep analysis or the computation of a controller, based on a model that cannot replicate the systems behavior or a model that is highly restricted to small and certain parts of the state-space, is practically impossible.

Hence, the present work uses the so called Koopman Operator and its identification to analyze and control nonlinear systems. With this mathematical operator it is possible to describe the behavior of nonlinear systems in terms functions of the state vector - so called observables - but linearly. Thus, linear concepts like modes and methods for linear analysis can be used for nonlinear systems. Furthermore, linear control methods can be used for excited nonlinear dynamical systems. In addition, this can be important since many nonlinear control methods rely on partially harsh restrictions. For example, some areas of the state space must be excluded, or the systems equation needs to be in a very specific structure.

Speaking of the operator’s linear character, concepts like the stability, which is in the linear case easily characerized by the eigenvalues of the linear dynamical system, can be transferred to nonlinear systems. To do so, the present work gives the reader theorems for time discrete systems, since most of the identification methods rely on such systems, to guarantee stability as long as a certain error bond is adhered. With those theorems it is further possible to guarantee stability if the nonlinear system is controlled with a state controller based on an identified Koopman linear system. It is important to mention that only continuous nonlinearities are treaded in the present work. That means that for example hysteresis are excluded throughout the study.

For the control of (nonlinear) systems the controllability is of major importance. Additionally, this work gives a theorem of the controllability of Koopman linear systems and uses it to acquired linear state controllers based on identified Koopman linear systems. For the linear quadratic controllers, used in the present work, certain weightings must be chosen, which is difficult due to the aforementioned observables. To transfer the interpretability of the weights from the statespace to the Koopman space a method is proposed.

The observable-functions are mostly completely unknown and only known for educational examples. To still estimate such systems, artificial neural networks are used in the presented work. Since those neural networks are universal function approximators, they are an excellent choice to obtain Koopman linear systems. Thus, a network is created that estimates observables in parallel to its inverse and a Koopman linear statespace system.

All those concepts are used to estimate, analyze and control two theoretical examples, the Van der Pol and the Duffing Oscillator, and additionally a real world three-tank hydraulic plant. In addition, a vast part of the methods and concepts are extended and tested, using the aforementioned examples, to the case when only a part of the states can be measured.

Englisch
Status: Verlagsversion
URN: urn:nbn:de:tuda-tuprints-199595
Sachgruppe der Dewey Dezimalklassifikatin (DDC): 600 Technik, Medizin, angewandte Wissenschaften > 620 Ingenieurwissenschaften und Maschinenbau
Fachbereich(e)/-gebiet(e): 18 Fachbereich Elektrotechnik und Informationstechnik
18 Fachbereich Elektrotechnik und Informationstechnik > Institut für Automatisierungstechnik und Mechatronik
18 Fachbereich Elektrotechnik und Informationstechnik > Institut für Automatisierungstechnik und Mechatronik > Regelungstechnik und Mechatronik
Hinterlegungsdatum: 25 Jan 2022 10:16
Letzte Änderung: 26 Jan 2022 07:56
PPN:
Referenten: Konigorski, Prof. Dr. Ulrich ; Isermann, Prof. Dr. Rolf
Datum der mündlichen Prüfung / Verteidigung / mdl. Prüfung: 8 November 2021
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