Bonnert, Marcel (2022)
Identifikation, Analyse und Regelung nichtlinearer dynamischer Systeme mittels des Koopman-Operators, künstlicher neuronaler Netze und linearer Zustandsregler.
Technische Universität Darmstadt
doi: 10.26083/tuprints-00019959
Dissertation, Erstveröffentlichung, Verlagsversion

Kurzbeschreibung (Abstract)

Durch immer komplexer werdende technische Systeme und dem damit einher gehenden Bedarf an passenden Regelungsmethoden stellt sich die Frage, ob bestehende Methoden für die Identifikation, Analyse und Regelung von linearen Systemen in geeigneter Weise auch für nichtlineare Systeme anwendbar sind. Ein bekannter Ansatz hierfür ist die Linearisierung einer bekannten Systemgleichung oder die Identifikation eines nichtlinearen dynamischen Systems auf Basis eines solchen linearen Ansatzes. Eine solche Identifikation stellt dabei häufig eine große Herausforderung dar. Dies gilt insbesondere dann, wenn Daten aus dem Betrieb genutzt werden, ohne dass ein besonderes Augenmerk auf eine geeignete Anregung gelegt werden kann. Damit einher geht häufig, dass Daten aus geschlossenen Regelkreisen zu Problemen bei der Identifikation führen können. Eine eingehende Analyse des Systemverhaltens oder eine Regelung auf Basis eines Modells, welches das System nicht ausreichend gut, oder nur in einem sehr begrenzten Bereich des Zustandsraumes, wiedergibt, sind damit praktisch unmöglich.

Daher beschäftigt sich die vorliegende Arbeit mit dem sogenannten Koopman-Operator und dessen Identifikation und Nutzung zur Analyse und Regelung nichtlinearer Systeme. Dieser Operator ist ein mathematisches Konstrukt, welches es möglich macht, bestimmte Funktionen der Systemzustände eines nichtlinearen dynamischen Systems - sogenannte Observables - über diesen Operator linear mit der Zeit zu entwickeln. So ist es möglich, theoretisch fundiert lineare Konzepte wie Eigenbewegungen und lineare Analyse- und Regelungsmethoden auf nichtlineare Systeme zu übertragen. Insbesondere für Systeme mit Anregung können lineare Reglerentwurfsmethoden so auf nichtlineare Systeme angewendet werden, ohne starke Einschränkungen hinnehmen zu müssen, wie sie häufig Teil von nichtlinearen Regelungsmethoden sind. So müssen bei diesen nichtlinearen Entwurfsmethoden beispielsweise gewisse Bereiche des Zustandsraumes ausgeschlossen werden oder die Systemgleichung muss in einer speziellen Form vorliegen.

Durch den linearen Charakter des Koopman-Operators ist es auch möglich, Konzepte wie die Stabilität, welche bei linearen Modellen sehr einfach anhand der Eigenwerte der Systemmatrix bestimmt werden kann, auf nichtlineare Systeme zu übertragen. Hierfür werden in der vorliegenden Arbeit Konzepte für zeitdiskrete Modelle erarbeitet, wie sie häufig identifiziert werden. So kann anschaulich von der Stabilität des Koopman-linearen Systems auf die Stabilität des nichtlineare Systems geschlossen werden. Damit ist es außerdem möglich, eine Stabilitätsgarantie für nichtlineare Systeme anzugeben, welche über einen Zustandsregler auf Basis dieses Koopman-linearen Systems berechnet werden. Die in der vorliegende Arbeit betrachteten Nichtlinearitäten sind dabei ausschließlich kontinuierlich. So sind beispielsweise Systeme mit Hysteresen nicht Teil der Betrachtungen.

Für die Regelung ist die Steuerbarkeit des Prozesses von besonderer Bedeutung. Auch für diese wird in dieser Arbeit eine Eigenschaft von Koopman-linearen Systemen erarbeitet und für die Regelung genutzt. Bei der Regelung wird sich in dieser Arbeit auf den linear quadratischen Ansatz beschränkt. Hierfür müssen gewisse Gewichtungen gewählt werden, deren anschauliche Wahl durch die Observables stark erschwert wird. Um die direkte Interpretierbarkeit dieser Gewichtungen auf den Koopman-Operator und seine Observables zu übertragen, wird eine neue Methode vorgeschlagen, wie diese Gewichte im Koopman-Raum gewählt werden können.

Die nun mehrfach genannten Observables sind jedoch meist vollständig unbekannte Funktionen und sind häufig nur für hinführende Beispiele ohne konkrete praktische Relevanz herzuleiten oder bekannt. Um dennoch solche Systeme zu schätzen, werden in dieser Arbeit künstliche neuronale Netze verwendet. Diese sind in ihrer Gestalt als allgemeine Funktionsapproximatoren für den vorliegenden Anwendungsfall prädestiniert. Es wird somit ein Netz erstellt, welches zunächst Observables berechnet und damit den Zustand kodiert. Diese Observables werden im Anschluss mittels eines linearen Zustandsraumsystems mit der Zeit entwickelt und abschließend dekodiert.

Diese Konzepte werden dann dafür genutzt, zwei mathematische Systeme, den Van der Pol und den Duffing Oszillator, sowie einen realen Drei-Tank Prüfstand zunächst zu schätzen, im Anschluss anhand der identifizierten Modelle zu analysieren und die Ergebnisse zu plausibilisieren und im Nachgang zu regeln. Als Erweiterung der erstellten Konzepte wird dieselbe Methodik für den Fall, dass nicht alle Zustände gemessen werden können, auf die die genannten Systeme angewendet.

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