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Approximation projektiver Tensornormen mit konvexer algebraischer Geometrie

Lang, Sandra (2023)
Approximation projektiver Tensornormen mit konvexer algebraischer Geometrie.
Technische Universität Darmstadt
doi: 10.26083/tuprints-00022497
Masterarbeit, Erstveröffentlichung, Verlagsversion

URL / URN: https://tuprints.ulb.tu-darmstadt.de/22497

Kurzbeschreibung (Abstract)

In dieser Arbeit untersuchen wir eine Methode zur Approximation der projektiven Norm auf reellen multipartiten Tensorprodukten durch sogenannte Thetakörper. Mit Thetakörpern kann die konvexe Hülle bestimmter reeller algebraischer Varietäten durch eine Kette von konvexen semialgebraischen Obermengen approximiert werden. Wir zeigen zunächst, dass die Einheitsproduktvektoren eines multipartiten Tensorprodukts, deren konvexe Hülle gleich der Einheitskugel der projektiven Norm ist, eine reelle algebraische Varietät bilden. Anschließend zeigen wir, dass die zu dieser Varietät gehörenden Thetakörper gegen die Einheitskugel der projektiven Norm konvergieren. Wir kommen zu dem Schluss, dass die Einheitskugel im Falle von reellen bipartiten Tensorprodukten bereits durch den ersten Thetakörper vollständig beschrieben werden kann. Zur Herleitung dieses Ergebnisses führen wir die zu Grunde liegenden mathematischen Konzepte ein, insbesondere Gröbnerbasen, reelle algebraische Geometrie, konvexe Geometrie und multipartite Tensorprodukte. Abschließend widmen wir uns dem Verständnis der Menge der Produktvektoren als algebraische Varietät und erhalten verschiedene Darstellungsweisen von Thetakörpern, beispielsweise als projizierte Spektraeder oder als Indikatoren für Positivität. Um den allgemeinen Fall multipartiter Tensorprodukte zu behandeln, entwickeln wir eine Software zur Annäherung der projektiven Norm durch Thetanormen.

Für eine Fortführung dieser Arbeit siehe: Lang, Sandra: A Geometric Approach to the Projective Tensor Norm

URN: urn:nbn:de:tuda-tuprints-203316

https://tuprints.ulb.tu-darmstadt.de/20331/

Typ des Eintrags:

Masterarbeit

Erschienen:

2023

Autor(en):

Lang, Sandra

Art des Eintrags:

Erstveröffentlichung

Titel:

Approximation projektiver Tensornormen mit konvexer algebraischer Geometrie

Sprache:

Deutsch

Referenten:

Kümmerer, Prof. Dr. Burkhard

Publikationsjahr:

2023

Ort:

Darmstadt

Kollation:

vi, 187 Seiten

DOI:

10.26083/tuprints-00022497

URL / URN:

https://tuprints.ulb.tu-darmstadt.de/22497

Kurzbeschreibung (Abstract):

Für eine Fortführung dieser Arbeit siehe: Lang, Sandra: A Geometric Approach to the Projective Tensor Norm

URN: urn:nbn:de:tuda-tuprints-203316

https://tuprints.ulb.tu-darmstadt.de/20331/

Alternatives oder übersetztes Abstract:

Alternatives Abstract

Sprache

The aim of this thesis is to investigate a method to approximate the projective norm of real multipartite tensor products by the concept of so-called theta bodies. These objects were proposed earlier in order to approximate the convex hull of a real algebraic variety by a chain of convex semialgebraic supersets. We first show that the unit product vectors of a multiple tensor product, whose convex hull equals the unit sphere of the projective norm, form a real algebraic variety. Afterwards, we show that the theta bodies associated to this variety converge to the unit sphere of the projective norm. We arrive at the conclusion that already the first theta body constitutes the unit sphere in case of real bipartite tensor products. For the derivation of this result, we introduce the underlying mathematical concepts, namely, Groebner bases, real algebraic geometry, convex geometry, and multipartite tensor products. In conclusion, we deal with the understanding of the set of the product vectors as a variety and obtain different representations of theta bodies as projected spectrahedra or as indicators for positivity. In order to deal with the general case of multipartite tensor products, we develop a software to approximate the projective norm by theta norms.

For a continuation of this thesis, see: Lang, Sandra: A Geometric Approach to the Projective Tensor Norm

URN: urn:nbn:de:tuda-tuprints-203316

https://tuprints.ulb.tu-darmstadt.de/20331/

Englisch

Freie Schlagworte:

Projektive Norm, nukleare Norm, Thetakörper, Summe von Quadraten, Sos-Polynom, konvexe algebraische Geometrie, reelle algebraische Geometrie, konvexe Optimierung, semidefinite Optimierung, konvexe Relaxation, Quantenverschränkung, Verschränkungszeuge, Projective norm, nuclear norm, theta body, sum of squares, sos polynomial, convex algebraic geometry, real algebraic geometry, convex optimization, semidefinite optimization, convex relaxation, quantum entanglement, entanglement witness

Status:

Verlagsversion

URN:

urn:nbn:de:tuda-tuprints-224970

Sachgruppe der Dewey Dezimalklassifikatin (DDC):

500 Naturwissenschaften und Mathematik > 510 Mathematik

Fachbereich(e)/-gebiet(e):

04 Fachbereich Mathematik
04 Fachbereich Mathematik > Didaktik

Hinterlegungsdatum:

27 Mär 2023 12:07

Letzte Änderung:

28 Mär 2023 13:28