Dynamische Benetzungsphänomene sind in Natur und Technik allgegenwärtig. Die Beine eines Wasserläufers nutzen eine ausgeklügelte hierarchische Oberflächenstruktur, um Superhydrophobie zu erreichen und das Insekt auf einer Wasseroberfläche leicht stehen und laufen zu lassen. Die Fähigkeit, dynamische Benetzungsprozesse zu verstehen und zu steuern, ist entscheidend für eine Vielzahl industrieller und technischer Prozesse wie Bioprinting und Tintenstrahldruck oder Massentransport in Mikrofluidikgeräten. Andererseits birgt das Problem der beweglichen Kontaktlinie selbst in einer stark vereinfachten Formulierung immer noch erhebliche Herausforderungen hinsichtlich der fundamentalen mathematischen Modellierung sowie der numerischen Methoden. Die vorliegende Arbeit befasst sich sowohl mit der grundlegenden Modellierung als auch mit der Entwicklung numerischer Methoden auf der Grundlage der geometrischen VOF (Volume-of-Fluid) Methode.

Die Ausbreitungsdynamik von Tropfen auf einem unbehandelten Siliziumwafer und auf einem mit einer Polymerbürste beschichteten Siliziumwafer wird in Zusammenarbeit mit Experimentatoren im Sonderforschungsbreich (SFB) 1194 untersucht. Eine gewöhnliche Differenzialgleichung, die die Ausbreitungsdynamik sphärischer Tropfen beschreibt, wird abgeleitet und mit experimentellen Ergebnissen verglichen. Das Modell ist eine Verallgemeinerung eines klassischen Modells für perfekt benetzende Tropfen auf den Fall der teilweisen Benetzung. Neben diesen vereinfachten Modellierungsansätzen liegt der Schwerpunkt der vorliegenden Arbeit auf der kontinuumsmechanischen Beschreibung der dynamischen Benetzung.

Die Singularität an einer sich bewegenden Kontaktlinie in der klassischen hydrodynamischen Beschreibung, basierend auf der Haftbedingung an festen Rändern, hat in den letzten 50 Jahren eine Reihe von Forschungsaktivitäten angeregt, die auf ein physikalisch fundiertes Modell abzielen. Es wurde gezeigt, dass die Navier-Schlupfbedingung in Kombination mit einem festen Kontaktwinkel zu einer sogenannten schwachen Singularität führt, und es wurde vermutet, dass die Lösung für Navier-Schlupf in Kombination mit einem dynamischen Kontaktwinkel vollständig regularisiert wird (Phys. Fluids, 2007). Das in der vorliegenden Arbeit entwickelte zentrale mathematische Werkzeug ermöglicht es zu beweisen, dass die letztere Vermutung falsch ist (solange die Schlupflänge endlich ist). Die Grundidee besteht darin, die Kinematik der Benetzung in der Klasse der sharp-interface sharp-contact-line Modelle unabhängig vom spezifischen kontinuumsmechanischen Modell zu studieren. Eine Evolutionsgleichung für den dynamischen Kontaktwinkel wird abgeleitet und rigoros unter der Annahme bewiesen, dass ein ausreichend reguläres Geschwindigkeitsfeld auf der berandeten Mannigfaltigkeit gegeben ist. Dank dieser sehr allgemeinen Formulierung kann das Resultat auf eine große Klasse von kontinuumsmechanischen Modellen angewendet werden, einschließlich der Mechanismen des Stofftransfers zwischen zwei Phasen oder des Stofftransfers auf eine Oberflächenphase wie im Interface Formation Modell. Das kinematische Resultat wird auf reguläre Lösungen des Standardmodells der dynamischen Benetzung, welches auf der Navier-Schlupfbedingung basiert, angewendet. Es wird gezeigt, dass eine Relaxation des Systems in den Gleichgewichtszustand mit einer regulären Lösung nicht möglich ist. Daher lässt sich die Schlussfolgerung ableiten, dass physikalische Lösungen im Standardmodell nicht regulär sein können. Darüber hinaus werden reguläre Lösungen für Verallgemeinerungen des Standardmodells untersucht. Insbesondere wird gezeigt, dass Oberflächenspannungsgradienten an der Kontaktlinie zu regulären Lösungen führen können.

Darüber hinaus wird die Kompatibilität der Randbedingungen an der Kontaktlinie für das Standardmodell und eine kürzlich von Lukyanov und Pryer vorgeschlagene Adaption des Interface Formation Modells (Langmuir, 2017) untersucht. Es wird gezeigt, dass abhängig von den Modellparametern die Randbedingungen im Modell von Lukyanov und Pryer an der Kontaktlinie kompatibel sein können. In diesem Fall lassen sich sogar explizite Ausdrücke für die Krümmung und den Druck an der sich bewegenden Kontaktlinie berechnen.

Der zweite Teil der vorliegenden Arbeit befasst sich mit numerischen Methoden zur dynamischen Benetzung. Um die kinematischen Ergebnisse leicht zugänglich zu machen, wird ein, auf der Level Set Methode basierender, Open-Source Demonstratorcode entwickelt und frei zugänglich gemacht. Der aktuelle Stand der Forschung bezüglich geometrischer VOF Verfahren zur Beschreibung von dynamischen Benetzungsprozessen wird kurz zusammengefasst. Insbesondere wird gezeigt, dass das von Afkhami und Bussmann vorgeschlagene Verfahren zur Einstellung des dynamischen Kontaktwinkels (Int. J. Numer. Methods Fluids, 2008) inkonsistente Werte für die Krümmung an der Kontaktlinie liefert. Motiviert durch die grundlegenden Ergebnisse zur Kinematik dynamischer Kontaktlinien werden neuartige Methoden zur Rekonstruktion der freien Grenzflächen nahe der Domänengrenze entwickelt und implementiert. Insbesondere ermöglicht die Boundary ELVIRA-Methode einen genauen numerischen Transport des Kontaktwinkels, der mit der fundamentalen Kinematik übereinstimmt. Das letztere Verfahren verbessert die Genauigkeit des VOF-Verfahrens bei Vorhandensein von dynamischen Kontaktlinien erheblich. Darüber hinaus wird die numerische Approximation der mittleren Krümmung grundlegend untersucht. Eine rigorose Fehleranalyse für die zweidimensionale Höhenfunktionsmethode bei Vorhandensein von Datenfehlern wird durchgeführt. Insbesondere wird die diskrete Fehlerverstärkung abgeschätzt und detailliert untersucht. Die letztere Art von Fehler wird in der wissenschaftlichen Literatur zu diesem Thema selten diskutiert. Tatsächlich kann der Einfluss der diskreten Fehlerverstärkung auf den Gesamtfehler jedoch erheblich sein, insbesondere wenn Störungen aufgrund von Transportfehlern in den Volumenfraktionsdaten vorhanden sind. Die kinematische Evolutionsgleichung für die mittlere Krümmung, die im ersten Teil dieser Arbeit abgeleitet wird, dient als Referenzlösung zur Validierung des numerischen Transports der Krümmung an der Kontaktlinie. Wie aus der Fehleranalyse zu erwarten ist, wird festgestellt, dass der Transportfehler für die Krümmung für die Boundary Youngs-Methode divergent erster Ordnung und für die Boundary ELVIRA-Methode konstant ist. Die Ergebnisse zeigen deutlich den Bedarf an Grenzflächen-Advektionsmethoden höherer Ordnung.

Der dritte Teil dieser Arbeit untersucht zwei spezifische Beispiele, nämlich den Anstieg einer Flüssigkeitssäule in einer Kapillare (Capillary Rise) und das Aufbrechen einer Flüssigkeitsbrücke auf einer chemisch strukturierten Oberfläche. Ein vergleichender numerischer Benchmark für dynamische Benetzungsprozesse wird am Beispiel des Capillary Rise entwickelt. Dazu kommen vier völlig verschiedene numerische Methoden zum Einsatz, die im SFB 1194 entwickelt werden. Das Resultat ist eine fundierte Datenbasis zur Validierung künftiger numerischer Verfahren. Darüber hinaus wird eine neuartige Diskretisierung der Navier-Schlupfbedingung eingeführt, die als versetzter Schlupf oder staggered slip bezeichnet wird. Das Ziel der versetzten Schlupfbedingung besteht darin, den der Methode inhärenten numerischen Schlupf zu verringern. Dies wird erreicht, indem die Schlupflänge in Bezug auf einen virtuellen Rand definiert wird, der sich zwischen dem physikalischen Rand und dem Ort der flächenzentrierten Geschwindigkeit befindet, welche zum Transport des Volumenfraktionsfeldes verwendet wird. Infolgedessen ist die diskrete viskose Dissipation im Vergleich zur Standard Navier-Schlupf-Implementierung erhöht. Es wird gezeigt, dass die Konvergenz für den Kapillaranstieg signifikant verbessert werden kann, wenn die Schlupflänge noch nicht aufgelöst ist. Andererseits ist die Konvergenzordnung für eine einphasige Kanalströmung im Vergleich zur Standardimplementierung reduziert.

Die Benetzung strukturierter Oberflächen wird in Zusammenarbeit mit Experimentatoren im SFB 1194 untersucht. Ziel ist es, die Aufbruchdynamik einer benetzenden Kapillarbrücke auf einer strukturierten Oberfläche quantitativ zu beschreiben. Ein Hauptproblem für die Interpretation sowohl der experimentellen als auch der numerischen Daten ergibt sich aus der Unsicherheit bezüglich des genauen Zeitpunkts des Aufbruchs der Kapillarbrücke. Um dieses Problem zu lösen, führen wir eine systematische Methode zur Analyse der Daten ein, die keine Bestimmung der Aufbruchzeit erfordert. Die Grundidee, die zuvor schon von Li Sprittles (J. Fluid Mech., 2016) angewendet wurde, besteht darin, die Geschwindigkeit des Prozesses (d.h. die zeitliche Ableitung des minimalen Durchmessers) als Funktion des minimalen Durchmessers selbst zu untersuchen. Dieses Verfahren ist wohldefiniert, da der Mindestdurchmesser monoton abnimmt. In der Tat wird gezeigt, dass die Transformation, die von der Standarddarstellung auf die Phasenraumdarstellung abbildet, invertierbar ist, bis auf eine Verschiebung in der absoluten Zeit. Mit dieser Methode können wir den Aufbruchprozess sowohl in der dreidimensionalen VOF-Simulation als auch im Experiment sehr detailliert untersuchen. Im Allgemeinen wird eine gute Übereinstimmung zwischen Experiment und Simulation sowohl qualitativ als auch quantitativ in Bezug auf die zeitliche Entwicklung des minimalen Durchmessers erreicht. Die numerischen Simulationen ermöglichen es, verschiedene Regime in der Aufbruchdynamik zu identifizieren, die auch in den experimentellen Daten gefunden wurden. Bemerkenswerterweise könnten dynamische Oberflächenspannungseffekte eine wichtige Rolle bei der Aufbruchdynamik spielen. Die Übereinstimmung zwischen Simulation und Experiment kurz vor dem Aufbruch kann verbessert werden, indem der Wert der (konstanten) Oberflächenspannung auf 90 mN/m erhöht wird. Der letztere Wert wurde von Hauner et al. (J. Phys. Chem. Lett., 2017) für eine frisch erzeugte Wasseroberfläche vorgeschlagen. Darüber hinaus wird durch Auswertung der numerischen Daten festgestellt, dass die lokale Grenzflächenerzeugungsrate sehr hoch ist. Eine vollständig quantitative Bewertung dieses Phänomens steht jedoch noch aus. Schließlich betrachten wir noch einmal das Capillary Rise Problem, diesmal für eine strukturierte Oberfläche. Interessanterweise kann die Oberflächenstrukturierung dazu verwendet werden, ein Energiefunktional mit zwei stabilen Konfigurationen zu konstruieren. Das resultierende dynamische Aufstiegsverhalten ist sehr komplex und zeigt eine Bifurkation zwischen den beiden stabilen Gleichgewichtslagen bei einer kritischen initialen Steighöhe.