Messungen von Strömungsgeschwindigkeiten sind ein wichtiger Aspekt bei der Untersuchung strömungsmechanischer Vorgänge. Messmethoden mit zunehmender Genauigkeit haben die Entwicklung und das theoretische Verständnis fluiddynamischer Modelle deutlich voran getrieben. Gängige Techniken messen Strömungsgeschwindigkeiten an ausgewählten Punkten im Strömungsfeld. In den letzten Jahren wurden neuartige Messmethoden untersucht, die in der Lage sind, räumlich aufgelöste, dreidimensionale Geschwindigkeitsfelder zu messen. Methoden wie Einzelpartikelverfolgung oder Schichtaufnahmen benötigen dafür einen optischen Zugang zum Messgebiet. Andere Methoden wie Magnetresonanz Velocimetry, CT-Angiographie oder Röntgen Velocimetry brauchen keinen solchen Zugang. Diese Eigenschaft und auch die Tatsache, dass dreidimensionale Geschwindigkeitsfelder in vergleichsweise kurzer Zeit gemessen werden können, machen solche Messverfahren besonders geeignet für Anwendungen im lebenden Organismus.

Wir interessieren uns hier insbesondere für nicht invasive Messtechniken, die keinen optischen Zugang zum Inneren der Geometrie benötigen. Dieser ist in Anwendungen oft nicht verfügbar und die exakte Strömungsgeometrie im Allgemeinen nicht bekannt. Wir betrachten daher spezielle Messtechniken, die von bereits verfügbaren medizinischen Bildgebungsverfahren abgeleitet werden. Als Beispiel nutzen wir hier die Magnetresonanz Velocimetry, die sich insbesondere auch für die Messung von turbulenten Strömungen eignet. Wir diskutieren außerdem ein Anwendungsbeispiel für solche Messdaten.

Motivation.

Generell sollen die verfügbaren Geschwindigkeitsdaten mit angepassten Methoden nachbearbeitet und zusätzliche Informationen daraus gewonnen werden. Die von der Magnetresonanz Velocimetry verfügbaren Messdaten bestehen aus mehreren Komponenten in einem fixierten Bildausschnitt. Die Magnitude des MRT Signals entspricht der Protonendichte, und korreliert damit auch mit beispielsweise der Dichte von Wassermolekülen. Typischerweise geben diese Daten eine klare Vorstellung von der Größe und Position der Strömungsgeometrie. Andererseits sind die Geschwindigkeitsdaten außerhalb der Strömungsgeometrie stark verrauscht, wobei die Ungenauigkeit hier typischerweise deutlich größer als das Signal der relevanten Messung ist. Solche Artefakte sind typisch für Daten die mit Magnetresonanz Velocimetry erstellt wurden.

Der erste Schritt in der Datenverarbeitung ist also, den Bereich, in dem nutzbare Geschwindigkeitsdaten vorhanden sind, von dem Rauschen in der Umgebung zu trennen. Deshalb verwenden wir eine Bildsegmentierung und nutzen dabei die verfügbaren Dichtemessungen. Da alle Komponenten auf demselben Bildausschnitt gegeben sind, kann die Segmentierung direkt auf die Geschwindigkeitsdaten übertragen werden.

Aufgrund des Messvorgangs sind auch die segmentierten Geschwindigkeitsdaten mit Messfehlern versetzt. Deshalb muss neben der Segmentierung noch ein weiteres Verfahren zur Nachbearbeitung der Daten eingesetzt werden. Das ist insbesondere nötig, um die Messdaten für eine weitere Verwendung nutzbar zu machen. Als zweiten Schritt schlagen wir deshalb eine an das Problem angepasste Datenverbesserung vor, die einerseits in der Lage ist, ein verbessertes Geschwindigkeitsfeld zu berechnen, aber auch weitere Informationen, wie zum Beispiel den Druckverlust, zu rekonstruieren.

Wir unterscheiden zwei wichtige Schritte:

(i) Die Identifizierung der Strömungsgeometrie, wobei die verfügbaren Messdaten der Protonendichte verwendet werden.

(ii) Die Aufbereitung und Verbesserung der segmentierten Geschwindigkeitsdaten mit Hilfe strömungsmechanischer Modelle.

Überblick.

In Teil I dieser Arbeit werden wir unser grundsätzliches Vorgehen für die Identifizierung der Geometrie und die Aufbereitung der Geschwindigkeitsdaten diskutieren. Beide Probleme werden als optimale Steuerungsprobleme formuliert und wir gehen in Abschnitt 4 auf die allgemeine Behandlung solcher Probleme ein.

In Teil II wird eine Methode zur Identifizierung der Geometrie vorgestellt und analysiert. Wir nutzen eine Formulierung als (schlecht gestelltes) inverses Pro- blem und eine Tikhonov Regularisierung, um auf stabile Art eine Lösung zu berechnen. Wir zeigen, dass das entstehende optimale Steuerungsproblem eine Lösung hat und besprechen die numerische Lösung mit Hilfe iterativer Verfahren. Zuletzt wird die systematische Diskretisierung mit Finiten Elementen besprochen, und anhand numerischer Beispiele illustriert.

In Teil III diskutieren wir die Nachbearbeitung der Geschwindigkeitsdaten. Wir schlagen dazu ein lineares Strömungsmodell vor, welches direkt die verfügbaren Messungen verwendet. Der daraus resultierende Modellfehler kann durch den Datenfehler abgeschätzt werden. Die Geschwindigkeitsrekonstruk- tion kann dann wieder als optimales Steuerungsproblem formuliert werden, wobei die linearisierten Gleichungen als Nebenbedingung auftreten. Wir zeigen, dass das Optimierungsproblem eine eindeutige Lösung besitzt und leiten Fehlerabschätzungen für den Rekonstruktionsfehler her. Des Weiteren erhalten wir eine Rekonstruktion des Drucks, für den wir vergleichbare Fehlerabschätzungen herleiten. Im Anschluss diskutieren wir die systematische Diskretisierung mithilfe von Finiten Elementen und zeigen erste numerische Beispiele für die Verifikation der Fehlerabschätzungen.

Um die Anwendbarkeit unserer Methoden auf realistische Daten zu illustrieren, betrachten wir in Teil IV ein Beispiel mit experimentellen Daten. Wir verwenden hier Messungen einer menschlichen Ader, die mit Hilfe von Magnetresonanz Velocimetry am Universitätsklinikum in Freiburg erstellt wurden. Nach entsprechender Vorbereitung der Daten wenden wir die Methode zur Identifizierung der Geometrie an und erhalten eine Diskretisierung der Ader. Das so generierte Gitter nutzen wir, um sowohl ein verbessertes Geschwindig- keitsfeld, als auch den Druck aus den vorhandenen Geschwindigkeitsdaten zu berechnen.