Griesheimer, Holger (2005)
Inverse Kinematik auf Basis von konformaler geometrischer Algebra.
Technische Universität Darmstadt
Masterarbeit, Bibliographie

Kurzbeschreibung (Abstract)

Für das Problem der inversen Kinematik hierarchisch gegliederter Körper stehen in der Robotik mehrere etablierte Verfahren zu Verfügung. Nachteilig an diesen Verfahren ist jedoch, daß sie - sofern sie überhaupt eine geschlossene Form der Lösung ermöglichen - vom Anwender ein hohes Maß an algebraischer oder geometrischer Intuition erfordern. Mit der sog. konformalen geometrischen Algebra steht nun ein math. Werkzeug zur Verfügung, das für viele Fragestellungen der Computergraphik einfachere und geometrisch intuitivere Lösungen verspricht. So stehen zahlreiche geometrische Objekte wie Kugeln, Ebenen, Linien direkt als algebraische Objekte zur Verfügung; zudem können Schnitte zwischen diesen Objekten sehr einfach und geschlossen berechnet werden. Im Rahmen dieser Arbeit wurde ein am Institut für graphisch-interaktive Systeme der TU Darmstadt entwickelter, auf konformaler geometrischer Algebra basierender Algorithmus für die inverse Kinematik des menschlichen Armes zunächst um die Behandlung der Hand erweitert und dann auf die in der Robotik übliche Denavit-Hartenberg Notation umgestellt. In einem weiteren Schritt wurde darauf aufbauend untersucht, inwieweit sich die inverse Kinematik einer offenen kinematischen Kette automatisch aus deren in DH-Notation vorliegender Beschreibung ableiten lässt. Hierzu wurde ein Verfahren vorgeschlagen und implementiert, das dies für offene kin. Ketten mit drei Armen und einem max. Freiheitsgrad von DOF=6 leistet. Das Verfahren analysiert anhand geometrischer Überlegungen die kinematische Kette und errechnet dann die Gelenkpositionen durch Schnitte von Kugeln, Kreisen und automatisch generierten Hilfsebenen. Die Gelenkwinkel werden dann im Laufe einer schrittweisen - und rein behelfsmäßigen - Vorwärtsrechnung sukzessive durch Winkelmessungen im jeweils aktuellen Framekoordinatensystem ermittelt. Abschließend werden die Einschränkungen des Verfahrens dargestellt sowie einige zur Demonstration der Implementierung modellierte kin. Ketten erläutert. In the field of robotics, there exist several well-known methods for the solution of the inverse kinematics problem of articulated rigid bodies. However, the methods which yield a closed-form solution do require a high degree of either algebraic or geometric intuition. With the so-called conformal geometric algebra, there exists a mathematical tool which promises to yield simpler and geometric more intuitive solutions for many problems of computer graphics. For example, within this algebra, many geometric objects like spheres, planes or lines are simply represented by algebraic objects; intersections between these objects can be done with a basic algebraic operation. Within this paper, an existing algorithm, which uses conformal geometric algebra for the inverse kinematics problem of the human arm, was extended to address the handling of the hand and, in a second step, to make use of the commonly used Denavit-Hartenberg notation. On this basis, further research was undertaken to determine, if the inverse kinematics of an arbitrary open kinematic chain can be directly derived from its Denavit-Hartenberg representation. A method was proposed and implemented which accomplishes this for open kinematic chains with three arms and a maximum degree of freedom of DOF=6. This method analyses the kinematic chain based on geometric considerations and then determines the joint posititions by using intersections of spheres, circles and automatically generated helper planes. The joint angles are then successively determined in a stepwise - and purely auxiliary - forward kinematics calculation by simple measurements in the current frame coordinate system. The thesis finishes with illustrating the restrictions of the method and the presentation of some explanary kinematic chains.

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