In dieser Arbeit werden implizite und linear implizite Peer-Methoden im Kontext der Optimierung mit gewöhnlichen oder partiellen Differentialgleichungen als Nebenbedingungen untersucht.

In vielen Anwendungsproblemen, wie dem Kühlen von Glas, einer wandernden Flammenfront in einem gekühlten Kanal, oder dem Härten von Stahl, können die zugrunde liegenden physikalischen Prozesse durch gewöhnliche oder partielle Differentialgleichungen modelliert werden. Der Wunsch diese Vorgänge zu optimieren, führt zum Feld der optimalen Steuerung mit Differentialgleichungen.

In einem Optimierungsalgorithmus müssen die Nebenbedingungen, also in unserem Fall ein System von gewöhnlichen oder partiellen Differentialgleichungen, mehrmals ausgewertet werden. Daher ist eine effiziente Diskretisierung der Differentialgleichungen sehr wichtig. Für gewöhnliche Differentialgleichungen und zur Zeitdiskretisierung parabolischer partieller Differentialgleichungen werden gerne Runge-Kutta- und Rosenbrock-Methoden benutzt. Allerdings zeigen diese Methoden bei sehr steifen Problemen und bei der Diskretisierung parabolischer Probleme oft nicht die zu erwartende, klassische Konvergenzordnung. Dieses Phänomen wird Ordnungsreduktion genannt.

Eine vielversprechende Alternative sind Peer-Methoden. Wie Einschrittverfahren berechnen diese Methoden mehrere Näherungslösungen in einem Zeitschritt und wie Mehrschrittverfahren nutzen sie hierfür die Näherungslösungen des letzten Zeitschritts. Es wurde bewiesen, dass Peer-Methoden auch für steife Probleme die volle Konvergenzordnung zeigen. Eine Einführung zu Peer-Methoden findet sich in Kapitel 3.

Zwei populäre Ansätze zur Lösung von Optimalsteuerproblemen sind der first-discretize-then-optimize Ansatz und der first-optimize-then-discretize Ansatz. Während beim first-discretize-then-optimize Ansatz erst die Zielfunktion und die Nebenbedingungen diskretisiert und dann das sich ergebende endlich-dimensionale Optimierungsproblem gelöst wird, werden beim first-optimize-then-optimize Ansatz die unendlich-dimensionalen Optimalitätsbedingungen diskretisiert. In Kapitel 4 beschäftigen wir uns mit der Vertauschbarkeit dieser beiden Ansätze bei der Nutzung von Peer-Methoden. Wir zeigen, dass die beiden Ansätze zu sehr unterschiedlichen Resultaten führen und schließen daraus, dass Peer-Methoden nicht für den first-discretize-then-optimize Ansatz geeignet sind.

Daher konzentrieren wir uns im Folgenden auf den first-optimize-then-discretize Ansatz und nutzen Peer-Methoden in einem Multilevel Optimierungsalgorithmus. Hierfür leiten wir eine voll adaptive, also adaptiv sowohl in der Zeit als auch im Ort, Diskretisierung für parabolische partielle Differentialgleichungen in Kapitel 5 her. Wir nutzen den Rothe Ansatz und diskretisieren erst in der Zeit mit einer linear impliziten Peer-Methode. Dies führt auf mehrere lineare elliptische Probleme, die wir dann mit einer Multilevel Finiten Element-Methode diskretisieren. Der Fehlerschätzer für den Fehler im Ort basiert hierbei auf hierarchischen Basen. Den Fehler in der Zeit schätzen wir ab, indem wir die berechnete Lösung mit einer Lösung niedrigerer Ordnung vergleichen. Wir betrachten die Effizienz des räumlichen Fehlerschätzers sowohl analytisch als auch numerisch. Schließlich vergleichen wir die Laufzeit von Peer-Methoden mit der von Rosenbrock-Methoden für drei partielle Beispiele in 2D. Peer-Methoden zeigen sich hierbei wettbewerbsfähig zu Rosenbrock-Methoden.

Diese voll adaptive Diskretisierung nutzen wir dann für die Multilevel Optimierung in Kapitel 6. Zuerst führen wir den Optimierungsalgorithmus ein und legen dabei besonderes Augenmerk auf die Rolle der Zeitintegration. Schließlich präsentieren wir Ergebnisse für drei Optimalsteuerprobleme mit partiellen Differentialgleichungen, wobei sich Peer-Methoden wieder wettbewerbsfähig zu Rosenbrock-Methoden zeigen.