Diese Arbeit beschäftigt sich mit reibungsfreien, kompressiblen Fluiden, welche mit Hilfe unterschiedlicher Zustandsgleichungen modelliert werden. Im einzelnen handelt es sich um das ideale Gasgesetz, das sogenannte stiffened Gasgesetz, das Taitsche Gesetz und das Kovolumen-Gasgesetz. Zusammen genommen eignen sich die genannten Zustandsgleichungen um das Verhalten einer Vielzahl von Gasen und Flüssigkeiten zu modellieren. Zunächst leiten wir neue exakte Lösungen für die zugehörigen Varianten der Euler-Gleichungen her. Im Anschluss verwenden wir die gewonnen Lösung zur Verifikation eines numerischen Verfahrens höherer Ordnung, welches im Rahmen dieser Arbeit implementiert wurde. Dieses Verfahren basiert auf der sogenannten Runge-Kutta Discontinuous Galerkin Methode. Wie wir anhand der präsentierten Verifikationsergebnisse aufzeigen, erreicht unsere Implementierung die für diese Methode zu erwartenden Konvergenzraten in Zeit und Raum.

Im Hauptteil der Arbeit befassen wir uns mit einem wesentlichen Baustein einer Erweiterung dieser konventionellen Diskretisierung um eine Möglichkeit zur Behandlung von eingebetteten Rändern. Bei dem Baustein handelt es sich um die numerische Integration allgemeiner Funktionen über Gebiete, welche zumindest teilweise auf Basis der Null-Niveaumenge einer Level-Set-Funktion definiert sind. In diesem Kontext untersuchen wir zwei neue, allgemein anwendbare Ansätze bezüglich ihrer Robustheit und ihrem Konvergenzverhalten. Das erste Verfahren basiert auf einer klassischen, adaptiven Strategie, während das zweite Verfahren auf einer hierarchischen Variante der sogenannten Moment-Fitting-Strategie mit variabler Ansatzordnung P basiert. Beide Methoden wurden so konzipiert, dass sie auf allgemeinen Element-Typen anwendbar sind. Die Ergebnisse unserer numerischen Experimente deuten darauf hin, dass die Moment-Fitting-Strategie zu einem Integrationsfehler führt, der mit der Rate O(h^(P+1)) abnimmt. Dies führt dazu, dass bei gleichbleibendem Rechenaufwand ein sehr viel kleinerer Integrationsfehler erreicht werden kann.