In dieser Arbeit wird eine neue numerische Methode vorgestellt, die auf der Discontinuous Galerkin (DG) Methode basiert und für dreidimensionale elektrostatische und elektro-quasistatische Feldprobleme mit komplex geformten Materialgeometrien entwickelt wurde. Insbesondere können mit dieser Methode bewegte Materialränder behandelt werden. Ein bekanntes Anwendungsbeispiel ist die Simulation singulärer Wassertropfen auf Hochspannungsisolatoren, die sich durch Niederschlag oder Kondensation auf den polymeren Isolierstoffoberflächen der Hochspannungsisolatoren sammeln. Diese singulären Tropfen werden aufgrund des anliegenden elektrischen Feldes zu Oszillationen angeregt. Die oszillierende Wirkung des elektrischen Feldes auf die Wassertropfen bewirkt wiederum, dass Teil- bzw. Mikroentladungen auftreten, die die Isolierstoffoberfläche schädigen. Die numerische Simulation der Tropfenbewegung auf Hochspannungsisolatoren ist sehr komplex. Die meisten Simulationsverfahren für diese Art von Feldproblemen verwenden Rechengitter, deren Elementränder exakt mit den Materialrändern übereinstimmen. Allerdings sind diese Gitter im Vergleich zu strukturierten Gittern oft nur mit einem erheblich höheren Zeitaufwand zu generieren. Zudem müssen diese Gitter bei Simulationen mit bewegten Materialrändern in jedem Zeitschritt an die bewegte Materialgeometrie angepasst werden.

Die numerische Methode, die in dieser Arbeit vorgestellt wird, vermeidet den zeitaufwendigen Gittergenerierungs- bzw. Gitteranpassungsschritt, indem ein vorgegebenes strukturiertes kartesisches Gitter verwendet wird. Um auf kartesischen Gittern eine ausreichende Genauigkeit für Feldprobleme mit komplex geformten Materialgeometrien erhalten zu können, wird eine Methode eingeführt, die die Materialränder in der Diskretisierung exakt berücksichtigt. Diese sogenannte Cut-Cell Diskretisierungsmethode schneidet die Elemente an den Materialrändern in Unterelemente, die sogenannten Cut-Cells. Die Cut-Cell Diskretisierungsmethode wird in die DG Methode eingebettet, weil diese eine Verwendung hoher Approximationsordnungen ermöglicht. Da die DG Methode aufgrund ihrer methodischen Struktur eine große Flexibilität für zusätzliche Methoden bietet, ist die Einbettung auf natürliche Weise möglich.

Da das kartesische Gitter nicht mit den Materialrändern übereinstimmt, können beim Schneiden der Elemente geometrisch sehr kleine Cut-Cells entstehen, die die Konditionszahl der Problemstellung verschlechtern. Aus diesem Grund werden in dieser Arbeit zwei weitere Methoden vorgestellt, die Adaptive Approximation Order Methode und die Cell Merging Methode, die es ermöglichen, selbst bei sehr kleinen Cut-Cells genaue Simulationsergebnisse zu erzielen. Zudem wird eine DG Hybridisierungsmethode eingeführt, die die Freiheitsgrade des Verfahrens in bestimmten Gebieten herabsetzt, ohne zu einem Genauigkeitsverlust zu führen. Die Methode, bestehend aus allen oben aufgelisteten Verfahren, wird als Boundary Conformal DG Methode bzw. BCDG Methode bezeichnet.

Eine Erweiterung der BCDG Methode auf bewegte Materialien, die EBCDG Methode, wird im zweiten Teil der Arbeit vorgestellt. Die bewegten Materialränder werden in dieser Methode durch eine wiederholte Neuberechnung der Cut-Cells zu jedem Zeitschritt berücksichtigt. Eine zeitaufwendige erneute Gittergenerierung oder eine Gitteradaption ist daher bei dieser Methode nicht notwendig. Im letzen Abschnitt dieser Arbeit werden die numerischen Simulationergebnisse der BCDG und der EBCDG Methode für verschiedene elektrostatische und elektroquasistatische Feldprobleme vorgestellt. Eine Konvergenzanalyse und eine Vergleichsanalyse für das Verifikationsbeispiel eines Zylinderkondensators mit zwei dielektrischen Materialen zeigen die hohe Genauigkeit der BCDG Methode auf. Abschließend werden die Simulationsergebnisse für das Anwendungsbeispiel eines Wassertropfens auf einer Isolierstoffoberfläche vorgestellt, bei der eine künstliche Tropfenbewegung betrachtet wird. Die Simulationsergebnisse belegen, dass mit der EBCDG Methode selbst auf Gittern mit wenig Elementen eine sehr hohe Auflösung des elektrischen Feldes und des Potentials erzielt werden kann.