In der vorliegenden Arbeit werden Familien von Flächen konstanter mittleren Krümmung (kuz: CMC-Fläche, CMC für Constant Mean Curvature) konstruiert, die von gewissen wohlbekannten Rotationsflächen abzweigen. Das grundlegende Konstruktionsprinzip dabei ist die Lawson-Korrespondenz, welche eine eindeutige Beziehung zwischen einfach zusammenhängenden Minimalflächen in einer Raumform der Krümmung K und dazu isometrischen CMC Flächen der konstanten mittleren Krümmung c in einer Raumform der Krümmung K-c^2 herstellt. Zwei verschiedene Fälle sollten in der Arbeit behandelt werden. In einem Fall geht es um neue CMC-Flächen, die von den immersierten Rotationsflächen konstanter mittleren Krümmung im dreidimensionalen euklidischen Raum, also Nodoiden, abzweigen. Mazzeo und Pacard haben die lokale (d.h. nah an den Nodoiden) Existenz derartiger Flächen gezeigt. Das Ziel in der vorliegenden Arbeit war, mit Konjugiertenmethoden die kompletten Familien bis hin zur Degeneration zu konstruieren. In dem anderen Fall geht es um eine 1-Parameter Familie von einfach-periodischen Minimalflächen, die vom Helikoid abzweigen. Entsprechend der Aufgabenstellung gliedert sich die Arbeit in zwei Teile. Im Teil 1 führen wir die Randkonturen (geodätische Vierecke) des Fundamentalstücks der zu konstruierenden Fläche in der 3-Sphäre ein. Das Plateauproblem lässt sich für die neuen geodätischen Vierecke lösen. Man benutzt die Überlagerungszylinder des soliden Clifford-Torus und Hemisphäre als Barrieren um die Regularität der Flächen beim Fortsetzen durch Spieglungen zu gewährleisten. Wir verallgemeinern das Rado-Argument für die 3-Sphäre und somit lässt die Plateaulösung als Graph über die 2-Sphäre bezüglich einer Hopf-Faserung. Daraus folgt ein Eindeutigkeitssatz für die Plateaulösung und die Stetigkeit der Abzweigungsfamilie. Die neuen einfach periodischen CMC-Flächen sind immersierte 2-Sphäre mit zwei herausgenommen Punkten und besitzen diskrete Symmetrie. Im Teil 2 verwenden wir die Konjugiertenmethode für den Fall hyperbolischer Flächen mit konstanter mittleren Krümmung 1, um Abzweigungsminimalflächen vom Helikoid in euklidischen Raum zu konstruieren. Der entscheidende Punkt hier ist die Lösung eines Plateauproblems für eine nichtkompakte Randkurve. Der Deformationsparameter ist die Flächennormale im Unendlichen. Die nichtkompakten Minimalflächen gewinnen wir durch Approximation mit kompakten Minimalflächen. Die gewünschte Asymptotik der Flächen ergibt sich aus Krümmungsabschätzungen für die Minimalflächengleichung. Die neuen Minimalflächen sind einfach periodisch und bilden eine 1-Parameter Familie.