Mars, Andreas (2011)
On the topology and geometry of Kac-Moody groups.
Technische Universität Darmstadt
Dissertation, Erstveröffentlichung

Kurzbeschreibung (Abstract)

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit topologischen und geometrischen Fragestellungen innerhalb der Theorie der Kac-Moody-Gruppen. Diese sind natürliche Verallgemeinerungen von Chevalley-Gruppen über kommutativen Ringen mit Eins. Im Laufe des Promotionsprojektes war die Beantwortung folgender Fragestellungen von zentraler Bedeutung. (1) Sei G eine Kac-Moody-Gruppe, definiert über einem topologischen Körper. Macht die Kac-Peterson-Topologie auf G die Gruppe zu einer Hausdorffschen topologischen Gruppe? Diese Frage ergab sich natürlicherweise aus einer Arbeit von Glöckner, Gramlich und Hartnick. Dort wurde gezeigt, dass die Kac-Peterson-Topologie reelle und komplexe Kac-Moody-Gruppen zu topologischen Gruppen macht. Dieses Resultat wird hier verallgemeinert. (2) Seien G, G' Kac-Moody-Gruppen über einem Integritätsbereich R. Ist es möglich, die Isomorphismen zwischen G und G' zu klassifizieren? Falls zwei Kac-Moody-Gruppen isomorph sind, sind dann auch die zugehörigen Wurzeldaten isomorph? Wie verhalten sich die Automorphismen von G(R) im Vergleich zu denen von G(F), wobei F der Quotientenkörper von R ist? In einer Arbeit von Caprace wurden die Isomorphismen zwischen zwei Kac-Moody-Gruppen über Körpern bestimmt. Der Beweis benutzt die Wirkung auf dem zugehörigen Zwillingsgebäude. Ich verwende, dass Kac-Moody-Gruppen über Integritätsbereichen auf den Gebäuden der Kac-Moody-Gruppen über den Quotientenkörpern wirken und bestimme die Isomorphismen mit Hilfe eines lokal-zu-global-Arguments. (3) Ist das natürliche Zwillingsgebäude einer Kac-Moody-Gruppe G (ausgestattet mit der Kac-Peterson-Topologie) über einem topologischen Körper F ein topologisches Zwillingsgebäude im Sinne von Hartnick? Falls ja, wie sieht die topologische Bahnenstruktur spezieller Untergruppen von G auf dem Gebäude aus? Im sphärischen Fall wurde von Burns und Spatzier ein Zusammenhang zwischen Lie-Gruppen und sphärischen topologischen Gebäuden nachgewiesen. Eine Arbeit von Hartnick verallgemeinert die Resultate, welche wiederum hier in noch allgemeinerem Kontext bewiesen werden. Diese Fragen werden in der vorliegenden Arbeit diskutiert und gelöst, einige weiterführende Fragestellungen werden formuliert und mögliche Verallgemeinerungen der präsentierten Resultate skizziert.

Frage zum Eintrag

Redaktionelle Details anzeigen