Holderbaum, Michael (2007)
Diskretisierung und Approximation von Bildern und morphologischen Bildoperatoren.
Technische Universität Darmstadt
Dissertation, Erstveröffentlichung

Kurzbeschreibung (Abstract)

In der vorliegenden Dissertation werden systematisch verschiedene Aspekte der Diskretisierung und Approximation von Bildern und morphologischen Bildoperatoren untersucht. In der Theorie morphologischer Bildoperatoren, die in der Monographie Morphological Image Operators von Henk Heijmans umfangreich dargestellt ist, werden binäre Bilder als Teilmengen einer Grundmenge modelliert. Ausgangspunkt ist daher die Diskretisierung dieser Grundmenge, von der angenommen wird, dass sie ein lokalkompakter Hausdorffraum ist. Eine Methode zur Diskretisierung eines solchen Raumes durch lokalendliche geordnete Mengen (die auch als T0-Räume betrachtet werden können) wird für geeignete Räume vorgestellt, welche die parakompakten und damit die metrischen Räume einschließen. Dabei approximiert dann das System von Diskretisierungen den Ausgangsraum in dem Sinne, dass dieser ein Retrakt des inversen Limes besagten Systems ist. Aus der genannten Methode wird eine Möglichkeit zur Diskretisierung und Approximation binärer Bilder abgeleitet, die als abgeschlossene Teilmengen der Grundmenge modelliert werden. Dies wiederum eröffnet eine Möglichkeit zur Diskretisierung und Approximation Scott-stetiger Binärbild-Operatoren. Grauwertbilder werden in der Theorie morphologischer Bildoperatoren als Abbildungen des Grundraums in einen vollständigen Verband von Grauwerten modelliert. Im Falle eines stark zulässigen Grauwert-Verbandes sind Ergebnisse zum Liften von Binärbild-Operatoren auf Grauwertbilder mittels Schwellenwert-Mengen bekannt. Es gibt jedoch kaum Erkenntnisse zu stark zulässige Verbänden selbst. Daher werden sie in der vorliegenden Arbeit genauer beleuchtet, wobei auch eine Charakterisierung für den endlichen Fall vorgestellt wird. Daraus ergibt sich die Vermutung, dass es sich bei stark zulässigen Verbänden beinahe um Ketten handelt. Ferner wird dargelegt, dass der Begriff des „zulässigen Verbandes“ mit dem des „vollständig distributiven Verbandes“ übereinstimmt und dass vollständig distributive Verbände eine geeignetere Voraussetzung darstellen, da sie Erweiterungen der bekannten Ergebnisse gestatten. Anschließend wird mit Hilfe von Schwellenwert-Mengen eine Diskretisierung und Approximation von Grauwertbildern aus derjenigen für Binärbilder hergeleitet. Erneut liefert das eine Möglichkeit zur Diskretisierung und Approximation Scott-stetiger Bildoperatoren – diesmal auf Grauwertbildern. Zudem wird eine Diskretisierung und Approximation von Grauwertbildern für den Fall vorgestellt, dass der Verband der Grauwerte anstelle des Grundraums diskretisiert wird. Abschließend wird die Möglichkeit betrachtet, Grauwertbilder durch Massenverteilungen zu modellieren. Hierbei werden stetige Bewertungen verwendet, die aus der Bereichstheorie bekannt sind. Es wird aufgezeigt, wie sich eine Diskretisierung und Approximation von stetigen Bewertungen aus derjenigen des Grundraums ableiten lässt.

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