Gaukel, Joachim (2003)
Effiziente Lösung polynomialer und nichtpolynomialer Gleichungssysteme mit Hilfe von Subdivisionsalgorithmen.
Technische Universität Darmstadt
Dissertation, Erstveröffentlichung
Kurzbeschreibung (Abstract)
Das Lösen von Gleichungssystemen stellt ein fundamentales Problem in der Mathematik dar. Ein wohlbekanntes Standardverfahren hierzu ist das Newtonverfahren, welches quadratisch konvergiert, falls der Startwert hinreichend nahe bei der Lösung liegt. Mit dem Newtonverfahren ist aber nicht entscheidbar, ob neben einer gefundenen Lösung noch weitere Nullstellen existieren. Seien nun aber für ein kompaktes Intervall $B\subset\R^n$ alle Nullstellen von $p:B \rightarrow \R^n$ gesucht. Wir stellen hierzu ein höchst effizientes numerisches Verfahren zur Lösung dieses Problems bereit. Wir betrachten zunächst polynomiale Systeme und formulieren einen global linear, lokal quadratischen branch-and-prune-Algorithmus, der eine Art Intervall-Newton darstellt, aber den bekannten Intervall-Newton-Verfahren überlegen ist. Dabei werden die Gleichungssysteme in Bezierdarstellung betrachtet. Anschließend übertragen wir das Vorgehen auf nicht-polynomiale Systeme. Insbesondere wenn diese aus polynomialen, trigonometrischen und exponentiellen Funktionen aufgebaut sind, erhalten wir ebenfalls ein numerisch praktikables und hocheffizientes Verfahren.
| Typ des Eintrags: |
Dissertation
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| Erschienen: |
2003 |
| Autor(en): |
Gaukel, Joachim |
| Art des Eintrags: |
Erstveröffentlichung |
| Titel: |
Effiziente Lösung polynomialer und nichtpolynomialer Gleichungssysteme mit Hilfe von Subdivisionsalgorithmen |
| Sprache: |
Deutsch |
| Referenten: |
Reif, Prof.Dr. Ulrich ; Höllig, Prof.Dr. Klaus |
| Berater: |
Reif, Prof.Dr. Ulrich |
| Publikationsjahr: |
2 September 2003 |
| Ort: |
Darmstadt |
| Verlag: |
Technische Universität |
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Datum der mündlichen Prüfung: |
4 Juli 2003 |
| URL / URN: |
urn:nbn:de:tuda-tuprints-3659 |
| Kurzbeschreibung (Abstract): |
Das Lösen von Gleichungssystemen stellt ein fundamentales Problem in der Mathematik dar. Ein wohlbekanntes Standardverfahren hierzu ist das Newtonverfahren, welches quadratisch konvergiert, falls der Startwert hinreichend nahe bei der Lösung liegt. Mit dem Newtonverfahren ist aber nicht entscheidbar, ob neben einer gefundenen Lösung noch weitere Nullstellen existieren. Seien nun aber für ein kompaktes Intervall $B\subset\R^n$ alle Nullstellen von $p:B \rightarrow \R^n$ gesucht. Wir stellen hierzu ein höchst effizientes numerisches Verfahren zur Lösung dieses Problems bereit. Wir betrachten zunächst polynomiale Systeme und formulieren einen global linear, lokal quadratischen branch-and-prune-Algorithmus, der eine Art Intervall-Newton darstellt, aber den bekannten Intervall-Newton-Verfahren überlegen ist. Dabei werden die Gleichungssysteme in Bezierdarstellung betrachtet. Anschließend übertragen wir das Vorgehen auf nicht-polynomiale Systeme. Insbesondere wenn diese aus polynomialen, trigonometrischen und exponentiellen Funktionen aufgebaut sind, erhalten wir ebenfalls ein numerisch praktikables und hocheffizientes Verfahren. |
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Alternatives oder übersetztes Abstract: |
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Alternatives Abstract | Sprache |
|---|
Solving nonlinear systems is a fundamental problem in mathematics. Well known and well understood is the newton method, converging global linear and local quadratic if started in a neighborhood of a solution. Unfortunatly it is not possible to decide if there are some more roots. Let $B\subset\R^n$ be a compact interval and all roots of $p:B \rightarrow \R^n$ are to be computed. We present a very efficient numerical algorithm to solve this problem. At first we will examine polynomial systems and give a global linear, local quadratic branch-and-prune algorithm, which can be interpreted as some kind of interval-newton, outrivaling known interval-newtons. Thereby we take advantage of using bezierform. Dealing with non-polynomial systems we can generalize our algorithm. In particular if the system consists of polynomial, trigonometric and exponential functions our method will be very efficient and numericaly practicable. | Englisch |
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| Freie Schlagworte: |
nichtlineares Gleichungssystem, Lösung, Subdivision, Intervall-Newton |
| Schlagworte: |
| Einzelne Schlagworte | Sprache |
|---|
| nonlinear system, roots, subdivsion, chebychev-spline, interval-newton | Englisch |
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| Sachgruppe der Dewey Dezimalklassifikatin (DDC): |
500 Naturwissenschaften und Mathematik > 510 Mathematik |
| Fachbereich(e)/-gebiet(e): |
04 Fachbereich Mathematik |
| Hinterlegungsdatum: |
17 Okt 2008 09:21 |
| Letzte Änderung: |
05 Mär 2013 09:25 |
| PPN: |
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| Referenten: |
Reif, Prof.Dr. Ulrich ; Höllig, Prof.Dr. Klaus |
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Datum der mündlichen Prüfung / Verteidigung / mdl. Prüfung: |
4 Juli 2003 |
| Schlagworte: |
| Einzelne Schlagworte | Sprache |
|---|
| nonlinear system, roots, subdivsion, chebychev-spline, interval-newton | Englisch |
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| Export: |
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