Üngör, Özer (2024)
Untersuchung eines Stoffgesetzes der impliziten Gradientenelastizität.
Technische Universität Darmstadt
doi: 10.26083/tuprints-00027788
Dissertation, Erstveröffentlichung, Verlagsversion

Kurzbeschreibung (Abstract)

Die Euler-Bernoulli-Theorie der Balkenbiegung in der Technischen Mechanik geht davon aus, dass das Materi- alverhalten isotrop elastisch ist und dass ebene Querschnitte auch unter Belastung eben, starr und senkrecht auf der deformierten Balkenachse bleiben. Es ist bekannt, dass diese Theorie unter Inkonsistenzen leidet. Zum Beispiel ergibt sich aus der angenommenen Kinematik, dass die Scherdehnung in der Ebene der Biegung und damit auch die zugehörige Schubspannung identisch verschwinden. Dies hat aber zur Folge, dass die Gleichge- wichtsbedingungen i. A. nicht erfüllt werden können. Jahrzehnte lang wird die Euler-Bernoulli-Balkentheorie mit Erfolg zur Lösung praktischer Probleme eingesetzt. Als formale Rechtfertigung für die Inkonsitenz wird das Argument gebracht, dass der dabei gemachte Fehler für schlanke Balken vernachlässigbar klein ist. Eine konsistente Euler-Bernoulli-Balkentheorie für klassische Elastizität wurde in der jüngsten Literatur unter der Annahme transversaler Isotropie mit geometrischen Zwangsbedingungen vorgeschlagen. Die Begründung für die transversale Isotropie liegt in der angenommen Geometrie, infolge deren das Materialverhalten entlang der Balkenachse elastisch und senkrecht dazu starr ist. Außerdem stellt die Undeformierbarkeit in der Ebene senkrecht zu der Balkenachse eine geometrische Zwangsbedingung dar. Die konsistente Euler-Bernoulli- Balkentheorie wurde auch auf Stoffgesetze der expliziten Gradientenelastizität erweitert. In der vorliegenden Arbeit werden diese Ansätze der konsistenten Euler-Bernoulli-Balkentheorie weiter verallgemeinert um Stoffgesetze der impliziten Gradientenelastizität zu erfassen. Insbesondere wird ein Materialgesetz betrachtet, dass sowohl Laplace-Ableitungen der Dehnung als auch Laplace–Ableitungen der Spannung enthält. Solche Modelle können als Gegenstücke von Stoffgesetzen für viskoelastische Festkörper interpretiert werden. Von spezieller Bedeutung in der Gradienten Elastizität ist das Problem der korrekten Randbedingungen. An dieses Problem wird in der Arbeit mithilfe geeignet formulierter variationeller Methoden herangegangen. Zur Demonstration der aufgestellten Balkentheorie in der impliziten Gradientenelastizität wird ein eingespannter Balken unter Streckenlast diskutiert und die Ergebnisse mit entsprechenden Ergebnissen infolge klassischer Elastizität und explizierter Gradientenelastizität verglichen. Darüber hinaus wird ein Vergleich mit Ergebnissen infolge Finite Elemente Berechnungen gezogen.

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