On structure preserving simulations in nonlinear electromagnetics, electric circuits, and efficient treatment of systems with memory

Shashkov, Vsevolod (2024)
On structure preserving simulations in nonlinear electromagnetics, electric circuits, and efficient treatment of systems with memory.
Technische Universität Darmstadt
doi: 10.26083/tuprints-00027452
Dissertation, Erstveröffentlichung, Verlagsversion

URL / URN: https://tuprints.ulb.tu-darmstadt.de/27452

Kurzbeschreibung (Abstract)

This thesis is dedicated to the modelling and numerical treatment of electromagnetic phenomena governed by (nonlinear) field and circuit equations, which are the fundamental topics in electrical engineering. The main focus is on energy transformation principles and the construction of discretization schemes that preserve these principles. While the numerical treatment of linear problems has been extensively studied in the literature over the years, a systematic treatment of nonlinear problems is not yet fully established.

In the first chapter of the thesis, Maxwell’s equations in nonlinear media are discussed. We consider an energy-based modelling approach for material description and present two formulations that lead to systems of certain generalized (port-) Hamiltonian and gradient structures. To preserve the underlying structure, we employ variational techniques based on Galerkin approximations in space and discontinuous- or Petrov-Galerkin methods in time. This approach allows a systematic construction of higher-order schemes based on implicit time-stepping. The discrete energy balance can be derived under relatively general assumptions. For energy-conserving systems, the two approaches enable the construction of dissipative and energy-conserving schemes, ensuring the passivity of the discretizations.

The second chapter is dedicated to electric circuit problems. The state-of-the-art approach to modelling electric circuits is Modified Nodal Analysis (MNA). This formulation leads to differential-algebraic systems with an index of ν ≤ 2, which presents challenges in the analysis and numerical treatment. We present an alternative magnetic-oriented nodal analysis formulation (MONA) that results in differential-algebraic systems with an index ν ≤ 1, which is much simpler to handle. We demonstrate that both formulations result in finite-dimensional systems of a certain port-Hamiltonian or gradient structure, similar to the field problems. Therefore, variational time-stepping methods can again be utilized to construct passivity-preserving higher-order time-discretization schemes.

In the last chapter, the systems with memory described by a Volterra-integro-differential equation are considered. Such systems arise in the context of dispersive media or reduced order models for field circuit coupling. The numerical treatment of such problems requires an efficient realization of the integral term in an evolutionary manner. After an appropriate discretization, the Volterra integral term can be interpreted as a matrix-vector product with a densely populated matrix. For a sufficiently fine approximation, the size of the system becomes large, leading to storage and complexity issues. We present a fast, oblivious, and evolutionary algorithm based on the H2−matrix compression technique. The approach can be applied to Volterra integrals of convolution type. Further, it shares some similarities with the fast and oblivious quadrature methods of Schädle, Lopez-Fernandez, and Lubich. The latter can be interpreted as a particular realization of the H-matrix approximation.

Typ des Eintrags:

Dissertation

Erschienen:

2024

Autor(en):

Shashkov, Vsevolod

Art des Eintrags:

Erstveröffentlichung

Titel:

On structure preserving simulations in nonlinear electromagnetics, electric circuits, and efficient treatment of systems with memory

Sprache:

Englisch

Referenten:

Egger, Prof. Dr. Herbert ; Schöps, Prof. Dr Sebastian

Publikationsjahr:

13 Juni 2024

Ort:

Darmstadt

Kollation:

133 Seiten

Datum der mündlichen Prüfung:

2 Februar 2024

DOI:

10.26083/tuprints-00027452

URL / URN:

https://tuprints.ulb.tu-darmstadt.de/27452

Kurzbeschreibung (Abstract):

Alternatives oder übersetztes Abstract:

Alternatives Abstract

Sprache

Diese Dissertation widmet sich der Modellierung und numerischen Behandlung von elektromagnetischen Feldern und elektrischen Schaltkreisen, die grundlegende Themen der Elektrotechnik sind. Der Schwerpunkt liegt auf den Energietransformationsprinzipien und der Entwicklung von numerischen Verfahren, die diese erhalten. Während der lineare Fall im Laufe der Jahre gut verstanden wurde, ist eine systematische Behandlung nichtlinearer Probleme noch nicht vollständig etabliert.

Im ersten Kapitel werden die Maxwell-Gleichungen in nichtlinearen Medien betrachtet. Wir verwenden einen energiebasierten Ansatz für die Modelierung der Materialgesetze und präsentieren zwei Formulierungen. Die erste Formulierung führt auf Probleme mit einer verallgemeinerten Hamiltonschen Struktur. Die zweite Formulierung besitzt Gradientenstruktur. Um die Struktur des Problems zu erhalten, verwenden wir Galerkin-Methoden im Raum und discontinuous Galerkin bzw. Petrov-Galerkin-Verfahren in der Zeit. Dadurch ist es möglich, Verfahren höherer Ordnung zu konstruieren, die auf impliziter Zeitintegration basieren. Die diskrete Energiebilanz kann unter vergleichsweise allgemeinen Voraussetzungen hergeleitet werden. Für energieerhaltende Systeme ermöglichen diese beiden Verfahren die Konstruktion von dissipativen und energieerhaltenden Schemata.

Das zweite Kapitel wird Modellierung und Diskretisierung elektrische Schaltkreise diskutiert. Die klassische Methode ist Modified Nodal Analaysis (MNA). Die Formulierung führt zu differenzial-algebraischen Systemen mit einem Index von ν ≤ 2, was potenzielle Herausforderungen in der Analyse und Diskretisierung mit sich bringt. Wir präsentieren eine alternative Magnetic Oriented Nodal Analysis (MONA) Formulierung, die zu differenziell-algebraischen Systemen mit einem Index von ν ≤ 1 führt und somit die Behandlung vereinfacht. Wir zeigen, dass die MNA- und die MONA-Formulierung zu endlichdimensionalen Systemen mit verallgemeinerten Hamiltonschen und Gradientenstrukturen führen, ähnlich den Feldproblemen. Dies ermöglicht wiederum die Konstruktion von Passivitäterhaltenden Methoden, welche auf den variationellen Zeitintegrationsverfahren basieren.

Im letzten Kapitel werden die Systeme mit Memory betrachtet, die durch eine Volterra-Integro-Differentialgleichung beschrieben werden. Probleme dieser Art entstehen im Kontext dispersiver Materialien oder Feld-Schaltkreis-Kopplungen. Die numerische Behandlung solcher Probleme erfordert eine effiziente Umsetzung des Integralterms auf evolutionäre Weise. Nach einer geeigneten Diskretisierung kann der Volterra-Integralterm als Matrix-Vektor-Produkt mit einer dicht besetzten Matrix interpretiert werden. Für eine ausreichend feine Diskretisierung wird die Größe des Systems in Hinblick auf Speicher und Komplexität problematisch. Wir präsentieren einen schnellen, vergesslichen und evolutionären Algorithmus, der auf der H2−Matrixkompression basiert. Der Ansatz kann auf Volterra-Integrale vom Faltungstyp angewendet werden. Dieser weist einige Ahnlichkeiten mit den FOCQ-Methoden von Schädle, Lopez-Fernandez und Lubich auf, welche als eine spezifische Realisierung der H-Matrixkompression interpretiert werden kann.

Deutsch

Status:

Verlagsversion

URN:

urn:nbn:de:tuda-tuprints-274524

Sachgruppe der Dewey Dezimalklassifikatin (DDC):

500 Naturwissenschaften und Mathematik > 510 Mathematik

Fachbereich(e)/-gebiet(e):

04 Fachbereich Mathematik
04 Fachbereich Mathematik > Numerik und wissenschaftliches Rechnen

Hinterlegungsdatum:

13 Jun 2024 12:08

Letzte Änderung: