In dieser Dissertation befassen wir uns mit verschiedenen Persistence-Problemen für fraktionale Prozesse. Mit Persistence ist das Ereignis einer langen Exkursion eines stochastischen Prozesses gemeint, bei der dieser unter- oder oberhalb einer bestimmten Schranke bleibt. Eine zentrale Fragestellung in diesem Kontext ist die Analyse der Wahrscheinlichkeit jenes Ereignisses - die sogenannte Persistence-Wahrscheinlichkeit.

Zunächst betrachten wir die Persistence-Wahrscheinlichkeiten der integrierten fraktionalen Brownschen Bewegung sowie der fraktional integrierten Brownschen Bewegung. Während es wohlbekannt ist, dass diese Persistence-Wahrscheinlichkeiten asymptotisch polynomiell abfallen, ist die polynomielle Rate nur in den Spezialfällen der Brownschen Bewegung und der integrierten Brownschen Bewegung bekannt. Wir zeigen, dass bei beiden Prozessen die polynomielle Rate eine stetige Funktion vom Hurst-Parameter ist, und bestimmen ihr asymptotisches Verhalten an den Rändern des jeweiligen Definitionsbereiches des Parameters.

Anschließend beschäftigen wir uns mit den Persistence-Wahrscheinlichkeiten von gemischten Prozessen wie der gemischten fraktionalen Brownschen Bewegung. Um genau zu sein, betrachten wir die Summe zweier selbstähnlicher zentrierter Gaußprozesse mit unterschiedlichen Selbstähnlichkeitsindizes und zeigen, dass, unter der Annahme von nicht-negativen Kovarianzfunktionen und einiger weiterer unwesentlicher Bedingungen, die Persistence-Wahrscheinlichkeit der Summe asymptotisch polynomiell abfällt, und zwar mit der gleichen polynomiellen Rate wie bei demjenigen Einzelprozess, der den größeren Selbstähnlichkeitsindex besitzt. Insbesondere wird damit die polynomielle Rate der Persistence-Wahrscheinlichkeit der gemischten fraktionalen Brownschen Bewegung bestimmt.

Abschließend geben wir noch Abschätzungen für die Persistence-Wahrscheinlichkeiten weiterer relevanter fraktionaler Prozesse, nämlich der bifraktionalen Brownschen Bewegung und des fraktionalen Ornstein-Uhlenbeck-Prozesses.