In der vorliegenden Arbeit wird das Problem der Turbulenzmodellierung basierend auf den reynoldsgemittelten Navier-Stokes-Gleichungen aus einem neuen Blickwinkel untersucht, indem kürzlich entdeckte Bedingungen, die aus einer Lie-Symmetrie-Analyse hervorgehen, in Betracht gezogen werden. In diesem Zusammenhang sind Symmetrien definiert als Variablentransformationen, die eine gegebene Gleichung invariant lassen. Bei Gleichungen, die physikalische Phänomene beschreiben, stellt man oftmals fest, dass ihre Symmetrien in die Gleichungen eingebettete physikalische Prinzipien abbilden. Die zentrale Idee hinter der Verwendung von Symmetriemethoden bei Modellierungsaufgaben besteht darin, dass die physikalischen Prinzipien, die in die exakte Gleichung eingebettet sind, auch in einem Modell für diese Gleichungen vorhanden sein sollten. Die Theorie der Lie-Symmetrien bildet den notwendigen mathematischen Rahmen, um diese Idee zu formalisieren.

Die Symmetrien, die für die Turbulenz bedeutsam sind, fallen in zwei Hauptkategorien: Klassische Symmetrien, die sowohl in den Navier-Stokes-Gleichungen als auch in allen statistischen Beschreibungen von Turbulenz vorhanden sind, und statistische Symmetrien, die ausschließlich in statistischen Beschreibungen von Turbulenz zu finden sind und keine Entsprechung in den ungemittelten Navier-Stokes-Gleichungen haben. Obwohl die ausdrückliche Verwendung von Symmetriemethoden in der Turbulenzmodellierung noch keine vorherrschende Rolle einnimmt, basieren viele in ihrer Anwendung auf Turbulenzmodelle etablierte Bedingungen, die unphysikalisches Modellverhalten verhindern sollen, auf Symmetrieargumenten. Dies dazu geführt, dass die Bedingungen, die aus den klassischen Symmetrien hervorgehen und Grundprinzipien der klassischen Mechanik abbilden, etwa seit den 1970er-Jahren bei der Turbulenzmodellentwicklung in Betracht gezogen werden. Grob gesagt sind Zweigleichungs- Wirbelviskositätsmodelle die einfachste Modellklasse, die alle klassischen Symmetrien erfüllt. Andererseits stehen die statistischen Symmetrien in Verbindung mit speziellen statistischen Eigenschaften der Turbulenz, was sie weniger intuitiv macht als die klassischen Symmetrien. Aus diesem Grund wurden sie bisher in der Turbulenzmodellierung übersehen.

Das Hauptziel der vorliegenden Arbeit ist es, ein Turbulenzmodell unter Betrachtung der statistischen Symmetrien zu entwickeln. Diese Aufgabe erweist sich als Herausforderung, da aus der Kombination von klassischen und statistischen Symmetrien starke Einschränkungen an mögliche Modellgleichungen hervorgehen. Um diese Herausforderung zu überwinden, wird ein formaler Modellierungsalgorithmus an das Problem der Turbulenzmodellierung angepasst und darauf angewendet. Die Ergebnisse weisen auf die Notwendigkeit von geschwindigkeitsartigen und druckartigen Hilfsvariablen hin. Mit diesen Modellvariablen werden mögliche Modellskelette sowohl für ein Wirbelviskositätsmodell als auch für ein Reynoldsspannungsmodell entwickelt. Anschließend werden diese einfachen Grundmodelle zu vollwertigen Turbulenzmodellen weiterentwickelt, indem sie auf kanonische Strömungen angewendet werden. Aufgrund der hohen Komplexität des entstehenden Reynoldsspannungsmodells wird der Fokus auf die Entwicklung einer modifizierten Version des k-ε-Modells gelegt, das so angepasst wird, dass es die statistischen Symmetrien erfüllt. Dieses neue Modell wird anhand einer Reihe kanonischer Strömungen kalibriert, wobei es stets entweder gleich gut oder besser abschneidet als das Standard-k-ε-Modell.

Außerdem wird die Implementierung des Standard-k-ω-Modells im institutseigenen DG (Diskontinuierliche Galerkin) Löser BoSSS (Bounded Support Spectral Solver) präsentiert. Zudem wird ein Speziallöser entwickelt, der effiziente numerische Berechnungen mit dem neuen Modell für einfache Strömungen erlaubt. Die damit berechneten Ergebnisse stimmen gut mit experimentellen Daten überein.