Mendler, Marc (2021)
Analyse stochastischer Reaktionssysteme anhand der Extrema der stationären Fokker-Planck-Gleichung.
Technische Universität Darmstadt
doi: 10.26083/tuprints-00017519
Dissertation, Erstveröffentlichung, Verlagsversion

Kurzbeschreibung (Abstract)

Die Analyse stochastischer Reaktionsnetzwerke anhand einer Master- oder Fokker-Planck-Gleichung ist in der Regel deutlich komplexer und weniger anschaulich als eine Beschreibung als deterministisches dynamisches System und meist nur numerisch möglich. Dennoch lassen sich viele interessante Phänomene, wie beispielsweise der Einfluss intrinsischen Rauschens, nur in stochastischen Modellen untersuchen. In dieser Arbeit wird daher ein Formalismus entwickelt, der – ausgehend von den Maxima und Minima der Fokker-Planck-Gleichung – eine Analyse stochastischer Reaktionsnetzwerke ermöglicht, die ebenso leicht zu handhaben ist wie die deterministische Beschreibung. Hierzu führen wir zunächst das sogenannte Konvektionsfeld α ein, dessen Nullstellen mit den Extrema der eindimensionalen, stationären Fokker-Planck-Gleichung übereinstimmen. Mithilfe dieser Größe analysieren wir rauschinduzierte stochastische Bifurkationen im Schlögl-Modell. Hierbei zeigt sich, dass sowohl stabile Systemzustände, die durch eine Erhöhung des intrinsischen Rauschens zerstört werden, als auch rauschinduzierte Bistabilität durch das Konvektionsfeld korrekt vorhergesagt werden. Bei der anschließenden Erweiterung des Formalismus auf mehrdimensionale Systeme ist jedoch der einfache Zusammenhang zwischen den Nullstellen von α und den Extrema der Fokker-Planck-Gleichung im Allgemeinen nicht mehr gegeben. Wir entwickeln daher eine Näherung für große Systemgrößen N, die eine Übertragung des Konvektionsfelds zumindest auf Systeme mit ausreichend großer Teilchenzahl ermöglicht. Anhand verschiedener Beispielsysteme lässt sich feststellen, dass diese Näherung für die meisten relevanten Reaktionsnetzwerke in weiten Teilen des Zustandsraum erfüllt ist. Mithilfe des Konvektionsfelds lassen sich zudem Phasenportraits des stochastischen Systems definieren, die in weiten Teilen die gleichen Eigenschaften aufweisen wie ihre deterministischen Pendants. Mit ihrer Hilfe analysieren wir unter anderem ein Modell nahrungssuchender Ameisen ohne Lösen der Fokker-Planck-Gleichung und unter Anwendung der gleichen mathematischen Methoden wie im deterministischen Fall. Für die hierbei erzielten Ergebnisse war ein Lösen der Fokker-Planck-Gleichung bislang unumgänglich. Anhand einesweiteren Beispiels aus der Populationsdynamik, dem sogenannten Rosenzweig-MacArthur-Modell, können wir außerdem eine neue Art von Bifurkation identifizieren, die nur in stochastischen Systemen auftreten kann: die Nullklinen-Lücken-Bifurkation. Diese lässt sich direkt aus den stochastischen Phasenportraits ablesen. Zuletzt erweitern wir unseren Formalismus um eine Methode zur Vorhersage stationärer Wahrscheinlichkeitsströme, die ebenfalls ohne Lösen der Fokker-Planck-Gleichung auskommt. Mit ihrer Hilfe stellen wir fest, dass an Orten, an denen unsere Näherung für kleine Systemgrößen versagt, in der Regel Dipolströme auftreten. Durch Anwendung auf verschiedene Beispielsysteme validieren wir die Vorhersagen dieser Methode. Hierbei analysieren wir unter anderem die unphysikalischen Ströme, die in der Fokker-Planck-Gleichung auftreten, wenn die zugrunde liegende Mastergleichung detailliertes Gleichgewicht aufweist.

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