Kontinuierliche Repräsentationsformen, wie z.B. B-Spline- und NURBS-Oberflächen (Non-Uniform Rational B-Splines), sind der De-facto-Standard für die Beschreibung von 3D-Modellen im Bereich des Computer-Aided Design (CAD). Der Industriestandard für die Durchführung physikalisch-basierter Simulationen ist seit vielen Jahren die Finite-Elemente-Analyse (FEA). Um physikalische Eigenschaften wie Stabilität, Aerodynamik oder Wärmeleitung zu simulieren, werden die kontinuierlichen Oberflächenmodelle in diskrete Finite-Elemente-Netze (FE-Netze) konvertiert.

Eine enge Integration von Design und Simulation ist eine wichtige Voraussetzung für einen effizienten Design- und Engineering-Workflow. Dazu gehört auch ein reibungsloser Übergang zwischen beiden Disziplinen. Die Konvertierung eines CAD-Modells von seiner kontinuierlichen Oberflächenbeschreibung (Boundary Representation, B-Rep) in eine diskrete volumetrische Darstellung für die Simulation ist ein zeitaufwendiger Prozess, der oft manuelle Eingriffe durch den Ingenieur erfordert. Durch die Diskretisierung werden unvermeidlich Approximationsfehler eingeführt. Designanpassungen direkt aus den Simulationsergebnissen abzuleiten ist schwierig, da der Vernetzungsprozess irreversibel ist.

In der Isogeometrischen Analyse (IGA) wird versucht, diese Hürde zu umgehen, indem eine einheitliche Repräsentation für die Beschreibung der Geometrie und die Durchführung der Simulation verwendet wird. Am häufigsten wird IGA mit bivariaten und trivariaten Splines (B-Spline- oder NURBS-Flächen, bzw. -Volumen) durchgeführt. Während vorhandene B-Rep-Modelle direkt für die Simulation schalenartiger Objekte, wie z.B. Blechteile, verwendet werden können, erfordert die Simulation volumetrischer Bauteile eine Umwandlung von Spline-Flächen in Spline-Volumen. Da trivariate Splines eine Tensor-Produkt-Topologie benötigen, müssen komplexe 3D-Objekte mit Hilfe von Trimming oder durch Verbinden mehrerer Spline-Körper (sog. Tiling) repräsentiert werden. Diese Vorgehensweise beschränkt die Stetigkeit des Modells jedoch auf C^0.

Anders als NURBS oder B-Splines erlauben es Subdivisionsmodelle, komplexe Topologien als eine einzige topologische Entität darzustellen. Dies gewährleistet eine potenziell höhere Stetigkeit im Modell, und die Notwendigkeit für Trimming oder Tiling entfällt. Während mit Subdivisionsflächen vielversprechende Ergebnisse bei der Modellierung und Simulation von schalenartigen Bauteilen erreicht wurden, wurde IGA auf Subdivisionsvolumen - abgesehen von den Arbeiten von Burkhart et al. - bisher kaum untersucht.

In dieser Dissertation erforsche ich, wie Subdivisionsvolumen genutzt werden können, um die Integration von geometrischer Modellierung und physikalisch-basierter Simulation zu stärken und den (iterativen) Konstruktionsprozess aus Design und Simulation effizienter zu gestalten. Basierend auf Catmull-Clark-Subdivisionsvolumen (CC Solids) stelle ich neue Techniken für die effiziente Limit-Auswertung, die volumetrische Modellierung, die numerische Integration und zur Messung und Verbesserung der Netzqualität vor. Ich präsentiere eine effiziente Art, CC Solids mit klassischer FEA zu koppeln und stelle meinen IGA-Ansatz vor, der auf dem Proof-of-Concept von Burkhart et al. aufbaut und diesen durch performantere Limit-Auswertung, präzisere Integration und höhere Netzqualität erweitert.

Eine effiziente Limit-Auswertung ist ein wichtiger Baustein bei der Verwendung von Subdivisionsmodellen für geometrische Modellierung, Visualisierung, Simulation und 3D-Druck. In dieser Dissertation stelle ich die erste Methode zur volumetrischen Limit-Auswertung für CC Solids vor, die es erlaubt, jeden Limit-Punkt in konstanter Zeit auszuwerten. Die Methode ist schneller als der auf Subdivision basierende Ansatz von Burkhart et al. für jede topologische Konstellation und jeden Parameterpunkt, die/der mehr als zwei lokale Subdivisionsschritte erfordern würde.

Aufbauend auf den Konzepten bekannter Software-Tools für Oberflächenmodellierung, präsentiere ich eine Modellierumgebung für volumetrische Kontrollnetze. Konsistente volumetrische Modellieroperationen, die aus neuartigen volumetrischen Euler-Operatoren aufgebaut sind, ermöglichen die Erstellung und Modifikation topologisch konsistenter volumetrischer Netze. Darüber hinaus zeige ich Techniken, um Gruppen von Kontrollpunkten über Parameter zu manipulieren und Überschneidungen mit inneren Kontrollpunkten beim Modellieren der äußeren Oberfläche zu vermeiden. Außerdem stelle ich Anwendungen für CC Solids im Kontext des Multimaterial-3D-Drucks vor.

Um die Vorteile von Subdivisionsvolumen auch in Kombination mit etablierten Finite-Elemente-Frameworks nutzen zu können, stelle ich eine effiziente und konsistente Methode zur Erzeugung von Tetraedernetzen aus CC-Solid-Modellen vor. Die Technik nutzt die inhärente volumetrische Struktur von CC-Solid-Modellen und ist mindestens 26 mal schneller als der von CGAL bereitgestellte Vernetzungsalgorithmus, der auf Oberflächenmodellen arbeitet. Dadurch kann das Tetraedernetz nach Modifikation des CC-Solid-Modells in wenigen Millisekunden aktualisiert oder neu erstellt werden. Anders als bei CGAL, hängt die Netzqualität jedoch direkt von der Qualität des Kontrollnetzes ab.

Am Beispiel der Strukturanalyse stelle ich meinen IGA-Ansatz für Catmull-Clark Subdivisionsvolumen vor. Die Simulationsergebnisse des IGA-Ansatzes konvergieren bereits bei weniger Elementen und weniger Freiheitsgraden als FE-Simulationen mit Tetraedernetzen mit linearen und quadratischen Basisfunktionen. Aufgrund der durch die Subdivisionsbasisfunktionen erzeugten höheren Stetigkeit im Simulationsgebiet, benötigt der Gleichungssystemlöser zudem weniger Iterationen zur Lösung des linearen Gleichungssystems. In Erweiterung von Burkhart et al.s Ansatz präsentiere ich ein hierarchisches Quadraturschema für irreguläre CC-Solid-Zellen, das die Genauigkeit der Integrale bei der Berechnung von Limit-Flächeninhalten und Elementsteifigkeiten erhöht. Ich führe eine Metrik zur Quantifizierung der Qualität von CC-Solid-Modellen ein, die die Parametrisierungsqualität des Limit-Volumens misst und Verzerrungen, Invertierungen und Singularitäten aufdeckt. Die Metrik zeigt, dass Zellen mit mehreren zusammenhängenden Randflächen Singularitäten im Limit-Volumen erzeugen, selbst wenn das Kontrollnetz eine hohe geometrische Netzqualität aufweist. Um diese Singularitäten aufzulösen und die Parametrisierungsqualität zu verbessern, stelle ich topologische Operationen zum Zerteilen solcher Randzellen vor. Dies reduziert die für die Konvergenz der Simulationsergebnisse benötigte Anzahl an Elementen weiter und beschleunigt zusätzlich das Lösen des Gleichungssystems.