Als Ziel der vorliegenden Arbeit soll ein Löser für viskoelastische Mehrphasenströmungen zur Verfügung gestellt werden. Dieser Löser ist eingebettet in die Software Bounded Support Spectral Solver (BoSSS), die aktuell am Fachgebiet für Strömungsdynamik an der Technischen Universität Darmstadt entwickelt wird. Die in BoSSS verwendete Diskretisierung ist eine diskontinuierliche Galerkin (DG) Methode hoher Ordnung für einphasige Strömungen und eine erweiterete (eXtended) DG (XDG) Methode hoher Ordnung für den mehrphasigen Anwendungsfall. Der Löser soll dazu genutzt werden, das Verhalten viskoelastischer Tropfen numerisch zu untersuchen. Als Konstitutivgleichung wird das makroskopische Oldroyd B Modell, das in vielen Bereichen Anwendung findet, ausgewählt. Die Herleitung des zugrundeliegenden Gleichungssystems inklusive der Prinzipien zur Modellierunge des Oldroyd B Modells werden gezeigt. Die DG Diskretisierung des Gleichungssystems und die lokale DG (LDG) Methode werden inklusive einer Einführung in die DG Methodik präsentiert. Die Ableitung geeigneter Flussformulierungen für die Konstitutivgleichungen ist dabei eines der zentralen Ergebnisse der vorliegenden wissenschaftlichen Arbeit. Aufgrund des konvektionsdominierten, gemischt hyperbolisch-elliptisch-parabolischen Gleichungssystems können Probleme bezüglich der numerischen Lösung des viskoelastischen Gleichungssystems für höhere Weissenbergzahlen für verschiedene Diskretisierungsmethoden entstehen. Einige Ansätze zur Lösung dieser Probleme, die in der Literatur beschrieben werden, werden präsentiert. Ein weiteres zentrales Ergebnis dieser wissenschaftlichen Arbeit ist der Einsatz der LDG Methode, die ursprünglich für hyperbolische Gleichunssysteme für ein newtonsches Fluid entwickelt wurde und deren Anwendung Methoden zur Erhaltung elliptischer Eigenschaften im Gleichungssystem unnötig macht. Des Weiteren werden einige Strategien vorgestellt, deren Ziel die Verbesserung der Konvergenz der Lösung für das diskretisierte Gleichungssystem ist. Diese sind das Newtonverfahren mit unterschiedlichen Ansätzen zur Ermittlung der Jacobi-Matrix des Systems, eine Homotopie-Fortsetzungsmethode basierend auf der Weissenbergzahl für eine bessere Initiallösung im Newtonverfahren, und ein Indikator für gestörte Zellen kombiniert mit einer künstlichen Diffusion oder einer adaptiven Gitterverfeinerung. Zur Vollständigkeit der Arbeit wird die XDG Methode, die in BoSSS implementiert ist, erläutert. Hierbei wird die Phasengrenze mittels einer vorzeichenbasierten Abstandsfunktion, der Level-Set-Funktion, dargestellt. Der Einphasenlöser wird mit diesen Methoden kombiniert und geeignete Flussfunktionen für die Phasengrenze werden implementiert, um eine Anwendung für viskoelastische Mehrphasenströmungen zu ermöglichen. Einige numerische Ergebnisse des einphasigen Lösers zur Verifikation und Validierung der Implementierung und des mehrphasigen Lösers zur Machbarkeit zur Simulation von viskoelastischen Tropfen werden gezeigt. Vor- und Nachteile der Implementierung sowie ein Ausblick für zukünftige Forschung können in der Schlussfolgerung nachgelesen werden.