In einer Vielzahl von Anwendungen spielen nichtlineare restringierte Optimierungsprobleme eine Rolle. Gegenstand dieser Arbeit sind nichtlineare Optimierungsprobleme mit einer Kardinalitätsrestriktion. Durch diese Nebenbedingung wird die Anzahl der Komponenten eines zulässigen Vektors, die ungleich Null sind, beschränkt. Zu den Anwendungen von Kardinalitätsrestriktionen zählen unter anderem Portfolio-Optimierung, Compressed Sensing, sowie logistische Problemstellungen.

Da die Kardinalitätsrestriktion durch eine unstetige Funktion beschrieben wird, ist die Anwendung von herkömmlichen Verfahren aus der nichtlinearen Optimierung nicht ohne weiteres möglich. Eine Möglichkeit ist die Anwendung von Verfahren aus der diskreten Optimierung auf eine Umformulierung mit Binärvariablen.

In dieser Arbeit befassen wir uns mit einem anderen Ansatz von Burdakov et al. (2016): Mittels kontinuierlicher Hilfsvariablen wird die Kardinalitätsrestriktion umformuliert, wodurch auch nichtlineare Probleme abgedeckt werden. Die Umformulierung weist Ähnlichkeit zu einem Optimierungsproblem mit Komplementaritätsnebenbedingungen (MPCC) auf und verletzt ebenfalls Bedingungen (Constraint Qualifications), unter denen Optimalitätsbedingungen erster Ordnung in einem lokalen Minimum gelten. Aus diesem Grund wurden von Burdakov et al. (2016) und Červinka et al. (2016) angepasste Optimalitätsbedingungen erster Ordnung hergeleitet.

Diese Arbeit knüpft an diese Ergebnisse an und enthält neue Optimalitätsbedingungen zweiter Ordnung für die Umformulierung. Diese gelten ebenfalls unter angepassten Constraint Qualifications, von denen man, im Gegensatz zu herkömmlichen Constraint Qualifications, annehmen kann, dass sie für die Umformulierung erfüllt sind. Wir leiten eine notwendige Optimalitätsbedingung zweiter Ordnung, eine hinreichende Optimalitätsbedingung zweiter Ordnung sowie ein Ergebnis zur Eindeutigkeit stationärer Punkte her. Zusätzlich formulieren wir diese Bedingungen bezüglich des ursprünglichen Problems. Diese Optimalitätsbedingungen können beispielsweise benutzt werden, um zu überprüfen, ob ein stationärer Punkt tatsächlich ein lokales Minimum ist. Für die hinreichende Optimalitätsbedingung zweiter Ordnung verwenden wir eine schwächere Voraussetzung als in der Theorie für herkömmliche nichtlineare Optimierungsprobleme. Ferner wird die Existenz einer lokalen Fehlerschranke für die Umformulierung hergeleitet. Sowohl die Optimalitätsbedingungen zweiter Ordnung als auch das Ergebnis zur Existenz einer lokalen Fehlerschranke werden anschließend für die Konvergenztheorie numerischer Verfahren verwendet.

Diese numerischen Verfahren stellen einen weiteren Schwerpunkt der Arbeit dar. Mit Hilfe des Ergebnisses zur Existenz einer lokalen Fehlerschranke leiten wir einen exakten Strafterm her. Für den Fall, dass Nichtnegativitätsnebenbedingungen vorhanden sind, betrachten wir zudem einen $\ell^1$-Strafterm. Dieser Spezialfall ist zum Beispiel in der Portfolio-Optimierung von Interesse. Wir zeigen, dass Karush-Kuhn-Tucker Punkte eines Hilfsproblems, welches den $\ell^1$-Strafterm verwendet, für wachsende Strafparameter im Grenzübergang eine notwendige Optimalitätsbedingung für die Umformulierung erfüllen.

Zusätzlich untersuchen wir die Anwendung eines Sequential Quadratic Programming (SQP) Verfahrens auf die Umformulierung theoretisch, wofür wir eine Zerlegung des ursprünglichen Optimierungsproblems verwenden. Unsere Ergebnisse liefern eine mögliche Erklärung für das Konvergenzverhalten eines SQP Verfahrens, welches wir im letzten Kapitel der Arbeit beobachten.

Darüber hinaus übertragen wir Regularisierungsverfahren auf die Umformulierung. Wir zeigen die Konvergenz einer Scholtes-artigen Regularisierung und einer Exponential Regularisierung. Erstere lieferte bereits für MPCCs gute numerische Ergebnisse. Mit Hilfe der Optimalitätsbedingungen zweiter Ordnung bauen wir die Konvergenztheorie für diese Regularisierung weiter aus und zeigen, wie man dieses Vorgehen auf weitere Regularisierungsverfahren übertragen kann.

Anschließend präsentieren wir numerische Ergebnisse. Wir verwenden die Umformulierung als Modell für dünnbesetzte Portfolios, die wir mit Hilfe historischer Kursentwicklungen konstruieren. Diese Portfolios weisen für verschiedene Zeiträume ein höheres Sharpe-Ratio als ein gleichverteiltes Portfolio auf. Die Ergebnisse sprechen für die Umformulierung als Modell für dünnbesetzte Portfolios.

Zusätzlich werden numerische Ergebnisse der Verfahren für die Umformulierung präsentiert und diskutiert. Wir testen die Verfahren an Portfolio-Optimierungsproblemen mit verschiedenen Zielfunktionen und für eine Reihe von Testfällen. Die Anwendung von Regularisierungsverfahren liefert im Großteil der Fälle bessere Ergebnisse als ein kommerzieller Löser für nichtlineare Optimierungsprobleme. Unter den Strafkostenansätzen ist der $\ell^1$-Strafterm vielversprechend, welcher sich für bestimmte Zielfunktionen ebenfalls gegen den kommerziellen Löser durchsetzen kann. Gegeben der Zielsetzung eine gute (aber nicht notwendigerweise die globale) Lösung in möglichst kurzer Zeit zu berechnen, vergleichen wir abschließend Ergebnisse der Scholtes-artigen Regularisierung mit Ergebnissen eines Lösers für gemischt-ganzzahlige Probleme.