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Weighted reduced basis methods for parabolic PDEs with random input data

Spannring, Christopher (2018):
Weighted reduced basis methods for parabolic PDEs with random input data.
Darmstadt, Technische Universität, [Online-Edition: http://tuprints.ulb.tu-darmstadt.de/7670],
[Ph.D. Thesis]

Abstract

This work focuses on model order reduction for parabolic partial differential equations with parametrized random input data. The input data enter the model via model coefficients, external sources or boundary conditions, for instance. The outcome of the model problem is not only the solution, but also a quantity of interest (or output). The output is determined by a functional which maps the solution to a real number. Random data cause randomness of the outcomes of the model problem and, hence, statistical quantities are of interest. In particular, this work studies the expected value of the solution and the output. In order to approximate the expectation, a Monte Carlo estimator is utilized. For high accuracy Monte Carlo requires many evaluations of the underlying problem and, hence, it can become computationally infeasible. In order to overcome this computational issue, a reduced basis method (RBM) is considered. The RBM is a Galerkin projection onto a low-dimensional space (reduced basis space). The construction of the reduced basis space combines a proper orthogonal decomposition (POD) with a greedy approach, called POD-greedy algorithm, which is state of the art for the RBM for parabolic problems. The POD-greedy uses computationally cheap error estimators in order to build a reduced basis.

This thesis proposes efficient reduced order models regarding the expected value of the errors resulting from the model order reduction. To this end, the probability density function of the random input data is used as a weight for the reduced space construction of the RBM, called weighted RBM. In the past, a weighted RBM has been successfully applied to elliptic partial differential equations with parametrized random input data. This work combines the ideas of a RBM for parabolic partial differential equations Grepl and Patera (2005) and a weighted RBM for elliptic problems Chen et al. (2013) in order to extend the weighted approach also for the RBM for parabolic problems.

The performance of a non-weighted and a weighted approach are compared numerically with respect to the expected solution error and the expected output error. Furthermore, this work provides a numerical comparison of a non-weighted RBM and a weighted RBM regarding an optimum reference. The reference is obtained by an orthogonal projection onto a POD space, which minimizes the expected squared solution error.

Item Type: Ph.D. Thesis
Erschienen: 2018
Creators: Spannring, Christopher
Title: Weighted reduced basis methods for parabolic PDEs with random input data
Language: English
Abstract:

This work focuses on model order reduction for parabolic partial differential equations with parametrized random input data. The input data enter the model via model coefficients, external sources or boundary conditions, for instance. The outcome of the model problem is not only the solution, but also a quantity of interest (or output). The output is determined by a functional which maps the solution to a real number. Random data cause randomness of the outcomes of the model problem and, hence, statistical quantities are of interest. In particular, this work studies the expected value of the solution and the output. In order to approximate the expectation, a Monte Carlo estimator is utilized. For high accuracy Monte Carlo requires many evaluations of the underlying problem and, hence, it can become computationally infeasible. In order to overcome this computational issue, a reduced basis method (RBM) is considered. The RBM is a Galerkin projection onto a low-dimensional space (reduced basis space). The construction of the reduced basis space combines a proper orthogonal decomposition (POD) with a greedy approach, called POD-greedy algorithm, which is state of the art for the RBM for parabolic problems. The POD-greedy uses computationally cheap error estimators in order to build a reduced basis.

This thesis proposes efficient reduced order models regarding the expected value of the errors resulting from the model order reduction. To this end, the probability density function of the random input data is used as a weight for the reduced space construction of the RBM, called weighted RBM. In the past, a weighted RBM has been successfully applied to elliptic partial differential equations with parametrized random input data. This work combines the ideas of a RBM for parabolic partial differential equations Grepl and Patera (2005) and a weighted RBM for elliptic problems Chen et al. (2013) in order to extend the weighted approach also for the RBM for parabolic problems.

The performance of a non-weighted and a weighted approach are compared numerically with respect to the expected solution error and the expected output error. Furthermore, this work provides a numerical comparison of a non-weighted RBM and a weighted RBM regarding an optimum reference. The reference is obtained by an orthogonal projection onto a POD space, which minimizes the expected squared solution error.

Place of Publication: Darmstadt
Divisions: 04 Department of Mathematics
04 Department of Mathematics > Numerical Analysis and Scientific Computing
Date Deposited: 12 Aug 2018 19:55
Official URL: http://tuprints.ulb.tu-darmstadt.de/7670
URN: urn:nbn:de:tuda-tuprints-76709
Referees: Lang, Prof. Dr. Jens and Schöps, Prof. Dr. Sebastian
Refereed / Verteidigung / mdl. Prüfung: 28 June 2018
Alternative Abstract:
Alternative abstract Language
In dieser Arbeit wird die Modellreduktion von parabolischen partiellen Differentialgleichungen mit parametrisierten zufälligen Eingangsdaten betrachtet. Die Eingangsdaten gehen zum Beispiel durch physikalische Koeffizienten im Modell, externe Quellen oder Randbedingungen in die partielle Differentialgleichung ein. Die gesuchte Variable des Problems ist nicht nur die Lösung, sondern auch ein Output. Dieser Output wird durch ein Funktional, welches die Lösung auf eine reelle Zahl abbildet, berechnet. Durch die Zufälligkeit der Eingangsdaten sind auch die gesuchten Variablen des Problems Zufallsgrößen. Aus diesem Grund sind statistische Größen von Interesse, wobei diese Arbeit den Erwartungswert der Lösung und des Outputs untersucht. Um den Erwartungswert zu approximieren, wird ein Monte Carlo Schätzer verwendet. Monte Carlo benötigt viele Auswertungen des zugehörigen Problems, um eine hohe Genauigkeit zu erzielen, und kann deshalb zu großem Rechenaufwand führen. Mit Hilfe der Reduzierte-Basis-Methode (RBM) wird der Rechenaufwand reduziert. Die RBM ist eine Galerkin-Projektion auf einen niedrigdimensionalen Raum. Die Konstruktion dieses reduzierten Raumes erfolgt durch eine Kombination einer Proper Orthogonal Decomposition (POD) und eines Greedy Verfahrens (POD-greedy Algorithmus). Der POD-greedy Algorithmus ist Stand der Technik im Kontext der RBM für parabolische Probleme. Für die Konstruktion des reduzierten Raumes werden Fehlerschätzer verwendet, welche unter einem geringen Rechenaufwand bestimmt werden können. Die Fehlerschätzer werden als Kriterium für die Wahl der Basis des reduzierten Raumes verwendet. Diese Arbeit entwickelt effiziente reduzierte Modelle hinsichtlich des Erwartungswertes der Fehler, welche aus der Modellreduktion resultieren. Dazu wird die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der zufälligen Eingangsdaten als Gewichts- funktion für Konstruktion des reduzierten Raumes verwendet (gewichtete RBM). In der Literatur wurde die gewichtete RBM erfolgreich für elliptische partielle Differentialgleichungen mit parametrisierten zufälligen Eingangsdaten angewendet. Diese Arbeit kombiniert die Ideen einer RBM für parabolische partielle Differentialgleichungen Grepl and Patera (2005) und einer gewichteten RBM für elliptische Probleme Chen et al. (2013), um die gewichtete RBM auf parabolische Probleme zu erweitern. Numerische Tests vergleichen eine nicht-gewichtete RBM und eine gewichtete RBM bezüglich des erwarteten Fehlers der Lösung und des erwarteten Fehlers des Outputs. Darüber hinaus liefert diese Arbeit einen numerischen Vergleich der nicht-gewichteten RBM und der gewichteten RBM hinsichtlich eines Optimums. Das Optimum wird durch eine Orthogonalprojektion auf einen POD Raum bestimmt und minimiert den Erwartungswert des quadratischen Fehlers der Lösung.German
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