Die Dissertation untersucht zwei verschiedene Klassen von Modellen für Warteschlangenund Agenten-basierte Systeme aus der Literatur der angewandten Wahrscheinlichkeitstheorie und versucht Fragen zu beantworten, die weitgehend von asymptotischer Natur sind. Die betrachtete Verflechtung dieser beiden unterschiedlichen Zweige der Wahrscheinlichkeitstheorie ist auf ein bestimmtes Kommunikationsnetzwerkszenario zurückzuführen, dessen mathematische Modellierung die Hauptmotivation dieser Arbeit ist. Das Netzwerkszenario besteht aus zwei zentralen Problemen - dem Hochladeproblem und dem Inhaltsverteilungsproblem.

Im Kontext des Internet der Dinge (Internet of Things) beschreibt kollaboratives Hochladen eine Art von Crowdsourcingszenario in vernetzten Umgebungen, in denen ein Gerät mehrere Pfade zum Hochladen von Inhalten in eine zentrale Verarbeitungsentität wie einen Cloud-Service verwendet. Das Hochladeproblem ist ein Sammelbegriff für Forschungsprobleme, die sich aus einem solchen Szenario ergeben, und umfasst unter anderem die Fragen 1) Wie lange dauert es, um einen Datenblock zu transportieren? 2) Wie viele Pfade sollten ausgewählt werden (Scheduling) um einen Datenblock optimal aufzuteilen (Provisionierung)? Indem wir das Hochladeproblem als Scheduling-Task in einem Fork-Join (FJ)-System, nämlich einem parallelen Warteschlangensystem mit Ausgangssynchronisation, modellieren, entwickeln wir die Begriffe des optimalen stochastischen Schedulings und der Provisionierung. Da eine exakte Analyse des FJ-Systems unter allgemeinen Annahmen über die Ankünfte und den bereitgestellten Dienst sich bislang als hoch diffizil herausgestellt hat, werden die Ziele, das optimale stochastische Scheduling und die Provisionierung zu entwerfen, durch Näherungen von Warscheinlichkeiten seltener Ereignisse (z. B. lange Wartezeiten) mit exponentiellen Schätzungen erreicht. Dies wird durch die Nutzung von Martingaltechniken und die Einführung eines Large Deviations Principle (LDP) für stationäre Wartezeiten erzielt. Um ein mögliches Burst- oder Phasenverhalten zu berücksichtigen, werden die Auswirkungen sich ändernder Umgebungsbedingungen mit Hilfe eines Markov-additiven Prozesses modelliert. Die daraus resultierenden theoretischen Erkenntnisse werden schlussendlich verwendet, um optimale Strategien für kollaboratives Hochladen zu entwickeln.

Zusätzlich zu allgemeinen FJ-Systemen werden zwei spezielle Warteschlangensysteme unter Verwendung einer zufälligen Zeitänderungsdarstellung für Markov-Prozesse in dieser Dissertation analysiert. Im Gegensatz zu FJ-Systemen erzwingen diese beiden speziellen Warteschlangensysteme keine inhärente Ausgangssynchronisation. Der erste dieser beiden Spezialfälle ist ein paralleles Warteschlangensystem mit endlichen Puffern. Hier werden Methoden zur Charakterisierung des Verlustprozesses und der optimalen probabilistischen Planung in einem solchen endlichen Puffer-Warteschlangensystem vorgestellt. Als Anwendung für große heterogene Cluster von parallelen Servern wird eine Skalierungsgrenze für eine ansteigende Anzahl der Server vorgestellt. Das zweite Warteschlangensystem berücksichtigt einen Spezialfall des Hochladeproblems, bei dem die Pfade keine Pufferungsmöglichkeiten haben. Wir verwenden Multi-Skalierungstechniken aus derWahrscheinlichkeitstheorie, um Quasi-Steady State Approximations (QSSAs) für ein solchesWarteschlangensystem abzuleiten. Die QSSAs sind besonders nützlich, wenn die Anzahl der zu transportierenden Datenblöcke viel größer ist als die Anzahl der verfügbaren Pfade.

Der zweite Teil des Netzwerkszenarios, das Inhaltsverteilungsproblem, betrifft die Verteilung von Inhalten in vernetzten Umgebungen zu einer Vielzahl von Endnutzern. Hier gehen wir hauptsächlich auf die Problemstellung für eine große Anzahl von Endnutzern ein. Um die Dynamik des Verteilungsproblems besser zu verstehen, modellieren wir es als ein Markovian Agent-based Model (MABM). In dieser Dissertation werden drei verschiedene Approximationen für MABMs vorgestellt. Zuerst wird ein Functional Central Limit Theorem (FCLT) für wichtige Populationsvariablen für einen Information-Dissemination (ID)-Prozess auf zufälligen Graphen des Konfigurationsmodells bewiesen. Der Information-Dissemination (ID)-Prozess ist mathematisch äquivalent zu einem stochastischen Compartimental Susceptible-Infected (SI) epidemischen Prozess. Zweitens wird ein Zustands-Aggregationsverfahren basierend auf den lokalen Symmetrien des zugrunde liegenden Graphen für generelle MABMs entwickelt, um die approximative Lumpability sicherzustellen. Drittens werden als eine Anwendung primitive Paket-Auswahlstrategien für Peer-to-Peer (P2P) Live-Streaming-Systeme, wie zum Beispiel die Latest Deadline First (LDF) und die Earliest Deadline First (EDF), unter Verwendung der Mean-Field-Theorie analysiert und eine verbesserte gemischte Strategie, das sogenannte SchedMix, wird vorgeschlagen.

Während unsere mathematischen Modelle Fragen adressieren, die sich aus dem Kommunikationsnetzwerkszenario ergeben, untersuchen wir die Tragweite der resultierenden Approximationswerkzeuge bei zusätzlicher Anwendung auf Probleme der Epidemiologie, der Systembiologie und synthetischen Biologie, der statistischen Physik und anderer Gebieten der Wissenschaft.