In dieser Arbeit werden die ersten Proof-Mining-Anwendungen auf die Theorie Partieller Differentialgleichungen sowie auf mehrwertige Operatoren in Banachräumen präsentiert. Vor allem werden abstrakte Cauchy-Probleme, die durch mehrwertige nichtlineare Operatoren generiert werden, welche bestimmte Akkretivitätsbedingungen erfüllen, betrachtet. Ein neuer Begriff von Akkretivitätsmodul wird eingeführt, der sich auf verschiedene Varianten von uniformer Akkretivität bezieht. Das zentrale Ergebnis dieser Arbeit ist die Extraktion von effektiven Schranken für die Konvergenz der Lösung des Cauchy-Problems gegen die Nullstelle des erzeugenden Operators der es generiert. Ein Anwendungsbeispiel auf eine spezifische partielle Differentialgleichung wird ebenfalls präsentiert.

Für solche Operatoren in allgemeinen reellen Banachräumen sowie für Operatoren, welche die sogenannte $\phi$-Expansivitätseigenschaft haben, werden berechenbare Konvergenzraten ihrer Resolventen gegen ihre entsprechenden Nullstellen angegeben. Unter der Annahme, dass der Raum darüber hinaus gleichmäßig konvex ist, wird eine Konvergenzrate von geringer Komplexität bewiesen.

Zwei Proof-Mining-Anwendungen auf nichtlineare, nichtexpansive Halbgruppen werden durch die Analyse von zwei komplett unterschiedlichen Beweisen derselben Aussage und durch das Erreichen von unterschiedlichen Schranken vorgestellt. Genauer gesagt werden effektive Schranken für die Berechnung von approximativen gemeinsamen Fixpunkten von einparameter-nichtexpansiven Halbgruppen auf einer Teilmenge eines Banachraums gewonnen. Desweiteren präsentieren wir für eine konvexe Teilmenge Korollare über die asymptotische Regularität der Iterationsschemata von Krasnoselskii und Kuhfittig.

Alle erreichten Schranken sind nicht nur effektiv, sondern auch in hohem Maße uniform und haben eine geringe Komplexität.

Diese Dissertation endet mit einem kurzen Kommentar zu einer Idee aus dem Bereich der Reverse Mathematics zu partiellen Differentialgleichungen, die eine andere Perspektive auf potentielle beweistheoretische Anwendungen aufzeigt, um zukünftige Arbeit zu motivieren.