Wir betrachten eine stochastische Evolutionsgleichung auf dem räumlichen Bereich D=(0,1)^d, getrieben entweder von einem additiven nuklearen oder einem additiven Raum-Zeit weißen Rauschen, so daß die Lösung durch einen unendlichdimensionalen Ornstein-Uhlenbeck-Prozeß gegeben ist. Wir untersuchen Algorithmen zur Approximation der milden Lösung dieser Gleichung, die Werte in dem Hilbertraum H=L_2(D) annimmt, zu einem festen Zeitpunkt. Der Fehler eines Algorithmus ist definiert durch den mittleren Abstand zwischen der Lösung und ihrer Approximation in H. Die Kosten eines Algorithmus sind definiert durch die Gesamtanzahl der Auswertungen der eindimensionalen Komponenten des treibenden H-wertigen Wiener-Prozesses W an beliebigen Zeitpunkten. Wir konstruieren Algorithmen mit einer asymptotischen optimalen Beziehung zwischen Fehler und Kosten. Desweiteren bestimmen wir das asymptotische Verhalten der entsprechenden minimalen Fehler. Wir zeigen die Abhängigkeit der minimalen Fehler von der räumlichen Dimension d, vom Glättungseffekt der vom Driftterm erzeugten Halbgruppe, von der durch den Diffusionsterm festgelegten Kopplung des unendlichdimensionalen Systems skalarer Ornstein-Uhlenbeck-Prozesse und von dem Zerfall der Eigenwerte von W im Falle nuklearen Rauschens. Asymptotische Optimalität wird erreicht durch implizite Euler-Maruyama-Verfahren, versehen mit nicht-uniformen Zeitdiskretisierungen. Diese Optimalität kann nicht notwendigerweise durch uniforme Zeitdiskretisierungen erreicht werden, welche häufig in der Literatur verwendet werden. Wir ergänzen unsere theoretischen Resultate durch numerische Untersuchungen.