Diese Dissertation befasst sich mit verschiedenen Persistenz-Problemen sowie einem Problem aus der Risikotheorie. Inhaltlich gliedert sich die Arbeit in vier Teile, die größtenteils unabhängig voneinander sind. Im ersten Teil beschäftigen wir uns mit Gaußprozessen in diskreter Zeit, welche zeitdiskrete Analoga der zweiseitigen gebrochenen Brownschen Bewegung beziehungsweise der zweiseitigen integrierten gebrochenen Brownschen Bewegung sind. In beiden Fällen zeigen wir, dass die Persistenz-Wahrscheinlichkeit polynomiell fällt und bestimmen die polynomielle Rate. Während die Persistenz-Wahrscheinlichkeit der einseitigen gebrochenen Brownschen Bewegung bereits ausführlich in der mathematischen Literatur untersucht wurde, gibt es noch keinen rigorosen Ansatz eine “gebrochene Brownsche Bewegung bedingt darauf positiv zu sein” zu definieren. Im zweiten Teil dieser Arbeit betrachten wir eine leichte Abwandlung dieses Problems, bei dem die gebrochene Brownsche Bewegung negative Werte annehmen darf, dafür jedoch “bestraft” wird. Dabei konzentrieren wir uns auf den Brownschen Spezialfall und leiten für diesen eine stochastische Differentialgleichung her, die vom Grenzprozess erfüllt wird. Im dritten Teil verallgemeinern wir klassische Persistenz-Fragen für zufällige zentrierte Irrfahrten mit endlicher Varianz. Zu diesem Zweck führen wir eine Klasse von Absorptionsmechanismen ein, welche die klassische Situation verallgemeinern. Unsere Hauptresultate dienen als eine Art Werkzeugsatz, mit dem Resultate über Persistenz-Wahrscheinlichkeiten sowie funktionale Grenzwertsätze für zufällige Irrfahrten, die nicht absorbiert werden, leicht gewonnen werden können. Im vierten Teil beschäftigen wir uns mit einem Problem aus der Risikotheorie. Wir betrachten den klassischen Cramér-Lundberg Prozess mit einer modifizierten Definition von Ruin. Unter einer allgemeinen Annahme an unser Modell, welche von den meisten solcher modifizierten Modelle aus der Literatur erfüllt wird, untersuchen wir dann das asymptotische Verhalten der modifizierten Ruin-Wahrscheinlichkeit und vergleichen es mit dem der klassischen Ruin-Wahrscheinlichkeit. Wir nehmen dabei an, dass die Cramér-Bedingung erfüllt ist oder die Verteilung der integrierten Schadenshöhen subexponentiell ist.