Ziel der vorliegenden Dissertation ist die numerische Analysis von Optimalsteuerungsproblemen mit parabolischen Differentialgleichungen sowie Zustands-und Gradientenschranken als Nebenbedingungen. Während die Steuerung lediglich zeitabhängig ist, werden die Zustandsschranken punktweise in der Zeit und global im Ort vorgeschrieben. Es handelt sich somit um ein semi-infinites Optimierungsproblem. Die Diskretisierung des Problems in Ort und Zeit erfordert eine Konvergenzanalyse, d.h. eine Betrachtung des Verhaltens der Lösungen der diskretisierten Probleme bezüglich der Lösung des kontinuierlichen Problems, wenn die Gitterweite der Diskretisierung gegen Null strebt. Diese Konvergenzanalyse basiert bei beliebigem Diskretisierungsgrad auf a-priori-Fehlerschätzern für die parabolischen Differentialgleichungen, welche in der vorliegenden Dissertation hergeleitet werden. Eine der groß en Herausforderungen bei Problemen mit Zustandsschranken besteht darin, dass es sich bei den Lagrange-Multiplikatoren in den Optimalitätsbedingungen erster Ordnung um Borelmaße handelt. Insbesondere treten diese Maße als Daten in der Adjungiertengleichung auf,wodurch sie die Regularität des adjungierten zustands direkt beeinflussen. Folglich muss in der Herleitung der Konvergenzraten auf Informationen aus der Adjungiertengleichung verzichtet werden. Das Auftreten lokaler Optima und die Verwendung von Optimalitätsbedingungen zweiter Ordnung bei der Untersuchung nicht-konvexer Probleme erfordert die Wahl einer anderen Strategie als im konvexen Fall, sodass die Komplexität des vorliegenden Problems erheblich zunimmt. Insbesondere basiert die Konvergenzanalyse auf einer quadratischen Wachstumsbedingung, welche aus den Optimalitätsbedingungen zweiter Ordnung hervorgeht. Die A-priori-Fehlerschätzer für die partiellen Differentialgleichungen werden anhand numerischer Beispiele verifiziert, wobei die Konvergenzraten des Optimalsteuerungsproblems den entsprechenden Fehler in der Differentialgleichung erwartungsgemäß widerspiegeln.