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Implementierung paralleler präkonditionierter iterativer Gleichungslöser unter Nutzung neuer Kommunikationsmethoden

Grammou, Natascha (2003):
Implementierung paralleler präkonditionierter iterativer Gleichungslöser unter Nutzung neuer Kommunikationsmethoden.
Darmstadt, Technische Universität Darmstadt, [Online-Edition: http://tuprints.ulb.tu-darmstadt.de/5266],
[Diploma Thesis or Magisterarbeit]

Abstract

Die Lösung von komplexen Problemen in der Ingenieurpraxis erfordert häufig Vereinfachungen des betrachteten Systems. Diese Vereinfachungen können sich auf die Abstraktion von Geometrie und Randbedingungen beziehen, die Idealisierung von Werkstoffeigenschaften und dem physikalischen Verhalten oder auf die Definition von Ersatzlasten. Eine analytisch geschlossene Lösung existiert aber oft nur für Sonderfälle und zum Teil nur unter groben Vereinfachungen und unrealistischen Randbedingungen, so dass numerische Verfahren für eine Berechnung zu Hilfe genommen werden. Die Anwendung der Finite-Element-Methode (FEM) wurde in zunehmendem Maße zur Berechnung komplexer Systeme anerkannt und gehört im Bauwesen mittlerweile zum Stand der Technik.

Lineare Gleichungssysteme werden in der Regel mit direkten Verfahren, wie beispielsweise die Verfahren von Gauß und Cholesky, gelöst. Dabei ist der Aufwand bei fehlender Bandstruktur von der Ordnung O(n2). Ab einer gewissen Größe des Gleichungssystems führt dies zu einem Rechenaufwand und auch zu einem Speicherplatzbedarf, der selbst bei modernen Hochleistungsrechnern zu Kapazitätsproblemen führen kann. Darin ist die Entwicklung von effizienteren Lösungsverfahren begründet.

Im Rahmen dieser Diplomarbeit werden zur effizienten Lösung numerischer Probleme iterative Verfahren der Gruppe der konjugierten Gradienten vorgestellt. Die Effizienz wird jedoch erst durch eine Transformation des linearen Gleichungssystems erreicht. Diese Transformation wird als Präkonditionierung bezeichnet. Der Schwerpunkt dieser Arbeit liegt auf der Beschreibung der Präkonditionierer und ihrer Auswertung bezüglich der Rechenbeschleunigung und Stabilisierung der iterativen Verfahren.

Eine schnellere Problemlösung ist auch immer mit einer Kostenersparnis verbunden und somit von großem wirtschaftlichem Interesse. Um eine zusätzliche Leistungssteigerung zu erzielen, werden die Verfahren parallel auf Multiprozessorsystemen angewendet.

Item Type: Diploma Thesis or Magisterarbeit
Erschienen: 2003
Creators: Grammou, Natascha
Title: Implementierung paralleler präkonditionierter iterativer Gleichungslöser unter Nutzung neuer Kommunikationsmethoden
Language: German
Abstract:

Die Lösung von komplexen Problemen in der Ingenieurpraxis erfordert häufig Vereinfachungen des betrachteten Systems. Diese Vereinfachungen können sich auf die Abstraktion von Geometrie und Randbedingungen beziehen, die Idealisierung von Werkstoffeigenschaften und dem physikalischen Verhalten oder auf die Definition von Ersatzlasten. Eine analytisch geschlossene Lösung existiert aber oft nur für Sonderfälle und zum Teil nur unter groben Vereinfachungen und unrealistischen Randbedingungen, so dass numerische Verfahren für eine Berechnung zu Hilfe genommen werden. Die Anwendung der Finite-Element-Methode (FEM) wurde in zunehmendem Maße zur Berechnung komplexer Systeme anerkannt und gehört im Bauwesen mittlerweile zum Stand der Technik.

Lineare Gleichungssysteme werden in der Regel mit direkten Verfahren, wie beispielsweise die Verfahren von Gauß und Cholesky, gelöst. Dabei ist der Aufwand bei fehlender Bandstruktur von der Ordnung O(n2). Ab einer gewissen Größe des Gleichungssystems führt dies zu einem Rechenaufwand und auch zu einem Speicherplatzbedarf, der selbst bei modernen Hochleistungsrechnern zu Kapazitätsproblemen führen kann. Darin ist die Entwicklung von effizienteren Lösungsverfahren begründet.

Im Rahmen dieser Diplomarbeit werden zur effizienten Lösung numerischer Probleme iterative Verfahren der Gruppe der konjugierten Gradienten vorgestellt. Die Effizienz wird jedoch erst durch eine Transformation des linearen Gleichungssystems erreicht. Diese Transformation wird als Präkonditionierung bezeichnet. Der Schwerpunkt dieser Arbeit liegt auf der Beschreibung der Präkonditionierer und ihrer Auswertung bezüglich der Rechenbeschleunigung und Stabilisierung der iterativen Verfahren.

Eine schnellere Problemlösung ist auch immer mit einer Kostenersparnis verbunden und somit von großem wirtschaftlichem Interesse. Um eine zusätzliche Leistungssteigerung zu erzielen, werden die Verfahren parallel auf Multiprozessorsystemen angewendet.

Place of Publication: Darmstadt
Uncontrolled Keywords: Iterative Gleichungslöser, Konjugiertes Gradienten Verfahren, Präkonditionierer, Vorkonditionierer, Präkonditioniertes Konjugiertes Gradienten Verfahren, Schurkomplement-Methode, numerische Verfahren, numerische Simulation, Finite-Element-Methode, Rechengeschwindigkeit, Parallelisierung großer Gleichungssysteme, Effizienzsteigerung
Divisions: 13 Department of Civil and Environmental Engineering Sciences
13 Department of Civil and Environmental Engineering Sciences > Institute of Numerical Methods and Informatics in Civil Engineering
Date Deposited: 31 Jan 2016 20:58
Official URL: http://tuprints.ulb.tu-darmstadt.de/5266
URN: urn:nbn:de:tuda-tuprints-52665
Referees: Meißner, Prof. Dr. Udo F. and Ruben, Dipl.-Ing. Jochen
Refereed / Verteidigung / mdl. Prüfung: September 2003
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