In dieser Arbeit befassen wir uns mit Grenzzyklen in Quantensystemen. Grenzzyklen sind eine Topoplogie der Renormierungsgruppe (RG). Wenn Hochenergie-Freiheitsgrade ausintegriert werden, laufen die Kopplungskonstanten periodisch in einer geschlossenen Kurve. Grenzzyklen können allerdings auch auftreten, wenn Niederenergie-Freiheitsgrade ausintegriert werden. Eine notwendige Bedingung für das Auftreten von Grenzzyklen ist diskrete Skaleninvarianz. Eine Signatur der diskreten Skaleninvarianz und von Grenzzyklen ist logarithmisch-periodisches Verhalten. Im ersten Teil dieser Arbeit untersuchen wir Grenzzyklen mit Hilfe der Ähnlichkeitsrenormierungsgruppe, im Englischen Similarity Renormalization Group (SRG) genannt. Grenzzyklen werden hauptsächlich mit Mitteln der konventionellen Renormierungsgruppe untersucht. Dabei werden Freiheitsgrade, die größer sind als ein zuvor festgelegter Cutoff, ausintegriert. Der Ansatz der SRG ist hingegen ein anderer. In der SRG werden Potentiale unitär transformiert und erhalten dabei eine banddiagonale Form. Die Breite der Bandstruktur kann dabei im Vergleich zur RG-Methode als eine andere Art von Cutoff angesehen werden. Wir untersuchen das Auftreten von Grenzzyklen in der SRG-Entwicklung. Unser Ziel ist es dabei Signaturen des Grenzzyklus aus den entwickelten Potentialen sowie den Skalenfaktor zu extrahieren. Wir betrachten das $1/R^2$-Potential im Zweiteilchen-System sowie ein Dreiteilchen-System mit großer Streulänge. Beide Systeme weisen einen Grenzzyklus auf. Wir verwenden neben dem häufig genutzten kinetischen-Energie-Generator auch zwei weitere SRG-Generatoren, den exponentiellen und inversen Generator. Der zweite Teil dieser Arbeit beschäftigt sich mit Grenzzyklen bei endlicher Dichte. Wir untersuchen dabei die Polstruktur der Streuamplitude für unterscheidbare Fermionen bei der Temperatur $T=0$ im Medium. Unterschiedliche Massen der Fermionen werden ebenso angenommen wie eine vollständig gefüllte Fermikugel für jede Fermionensorte. Dabei konzentrieren wir uns auf den Bereich negativer Streulängen und den unitären Grenzfall. Wir diskutieren wie sich die Eigenschaften des Dreiteilchenspektrums verändern, wenn man anstatt des Vakuums eine endliche Dichte annimmt. Des Weiteren nutzen wir unsere Ergebnisse um Rückschlüsse auf die Phasenstruktur ultrakalter Fermigase zu ziehen.