# Conservation laws of helical flows

## Abstract

Helically symmetric flows are present in many technical devices such as wind turbine, combustion chamber and marine propeller. The understanding of the nature of this type of flow can be useful to describe such phenomena like a vortex breakdown. The aim of this thesis is the analytical investigation of helically symmetric flows in terms of conservation laws. After finding the conservation laws one is able to use the obtained theoretical results in order to construct exact solutions of the analyzed system of equations, furthermore the obtained divergence expressions are useful in numerics. The introduction of a helical variable ξ = az + bφ, which is a twist of two cylindrical variables z and φ, allows to consider not only the helically symmetric system of equations, but also the two important limiting cases: the case of a plane flow and the case of rotationally symmetric flow. The theoretical procedure to find the conservation laws is called the direct construction method and is described in Anco, Bluman & Cheviakov (2010). This method is based on two ideas: application of the Euler operator and finding multipliers for the given system of equations. A Maple based package called GeM is used for the calculation of the local conservation laws. In order to obtain a global conservation law one has to integrate the local conserved quantities. For this, direct numerical simulations with a code HELIX (Delbende, Rossi & Daube 2012), which describes the dynamics of helically symmetric flows, were performed. By the introduction of helical symmetry the three-dimensional Navier-Stokes equations can be reduced to a two-dimensional problem. This numerical method is a generalization of the vorticity/stream function formulation in a circular domain, with finite differences in the radial direction and spectral decomposition along the azimuth. Compared to a standard three-dimensional code, this allows to reach large Reynolds numbers in feasible time. For the analytical part of this work time dependent Euler and Navier-Stokes equations written in three different formulations are considered: in primitive variables, in stream function formulation and in vorticity formulation. Various new sets of conservation laws for both inviscid and viscous flows, including families that involve arbitrary functions, are derived. In particular, for inviscid flows, a family of conserved quantities, that generalize helicity, is obtained. The special case of two-component flows, with zero velocity component in the invariant direction, is additionally considered, and special conserved quantities that hold for such flows are computed. In particular, it is shown that the well-known infinite set of generalized enstrophy conservation laws that holds for plane flows also holds for the general two-component helically invariant flows and for axisymmetric twocomponent flows. For the integration of local conservation laws the time dependent Navier-Stokes and Euler equations with three velocity components are considered. Using the integration the global conservation could be investigated. The remaining set of conservation laws for two-component flows could not be performed numerically due to the fundamental equations of the code, which include all velocity components. It should be noted that the analytical part of this dissertation were published in Kelbin, Cheviakov & Oberlack (2013).

Item Type: Ph.D. Thesis
Erschienen: 2015
Creators: Kelbin, Olga
Title: Conservation laws of helical flows
Language: English
Abstract:

Helically symmetric flows are present in many technical devices such as wind turbine, combustion chamber and marine propeller. The understanding of the nature of this type of flow can be useful to describe such phenomena like a vortex breakdown. The aim of this thesis is the analytical investigation of helically symmetric flows in terms of conservation laws. After finding the conservation laws one is able to use the obtained theoretical results in order to construct exact solutions of the analyzed system of equations, furthermore the obtained divergence expressions are useful in numerics. The introduction of a helical variable ξ = az + bφ, which is a twist of two cylindrical variables z and φ, allows to consider not only the helically symmetric system of equations, but also the two important limiting cases: the case of a plane flow and the case of rotationally symmetric flow. The theoretical procedure to find the conservation laws is called the direct construction method and is described in Anco, Bluman & Cheviakov (2010). This method is based on two ideas: application of the Euler operator and finding multipliers for the given system of equations. A Maple based package called GeM is used for the calculation of the local conservation laws. In order to obtain a global conservation law one has to integrate the local conserved quantities. For this, direct numerical simulations with a code HELIX (Delbende, Rossi & Daube 2012), which describes the dynamics of helically symmetric flows, were performed. By the introduction of helical symmetry the three-dimensional Navier-Stokes equations can be reduced to a two-dimensional problem. This numerical method is a generalization of the vorticity/stream function formulation in a circular domain, with finite differences in the radial direction and spectral decomposition along the azimuth. Compared to a standard three-dimensional code, this allows to reach large Reynolds numbers in feasible time. For the analytical part of this work time dependent Euler and Navier-Stokes equations written in three different formulations are considered: in primitive variables, in stream function formulation and in vorticity formulation. Various new sets of conservation laws for both inviscid and viscous flows, including families that involve arbitrary functions, are derived. In particular, for inviscid flows, a family of conserved quantities, that generalize helicity, is obtained. The special case of two-component flows, with zero velocity component in the invariant direction, is additionally considered, and special conserved quantities that hold for such flows are computed. In particular, it is shown that the well-known infinite set of generalized enstrophy conservation laws that holds for plane flows also holds for the general two-component helically invariant flows and for axisymmetric twocomponent flows. For the integration of local conservation laws the time dependent Navier-Stokes and Euler equations with three velocity components are considered. Using the integration the global conservation could be investigated. The remaining set of conservation laws for two-component flows could not be performed numerically due to the fundamental equations of the code, which include all velocity components. It should be noted that the analytical part of this dissertation were published in Kelbin, Cheviakov & Oberlack (2013).

Uncontrolled Keywords: Helical flow, conservation laws
Divisions: 16 Department of Mechanical Engineering > Fluid Dynamics (fdy)
16 Department of Mechanical Engineering
Date Deposited: 15 Mar 2015 20:55
URN: urn:nbn:de:tuda-tuprints-44436
Referees: Oberlack, Prof. Martin and Janicka, Prof. Johannes
Refereed / Verteidigung / mdl. Prüfung: 18 December 2014
Alternative keywords:
Alternative keywordsLanguage
Helikale Strömung, ErhaltungsgrößenGerman
Alternative Abstract:
Alternative abstract Language
Strömungen, welche eine helikale Symmetrie besitzen, treten in vielen technischen Anwendungen auf, beispielsweise im Nachlauf von Schiffsschrauben oder Windturbinenschaufeln, oder in Brennkammern. Das fundamentale Verständnis dieser Art von Strömung kann nützlich sein um Phänomene wie beispielsweise den “vortex breakdown” zu beschreiben. Das Ziel der vorliegenden Arbeit ist die analytische Untersuchung der Strömungen mit helikaler Symmetrie im Hinblick auf Erhaltungsgleichungen. Nachdem die Erhaltungsgleichungen konstruiert wurden, kann man diese verwenden um beispielsweise exakte Lösungen des Ausgangsproblems zu erhalten, weiterhin sind die gefundenen Divergenzformulierungen nützlich für die numerische Berechnung. Die Einführung der helikalen Variable ξ, welche eine Kombination aus zwei zylindrischen Koordinaten (z und φ) ist, ermöglicht nicht nur helikale Strömungen, sondern auch ebene und rotationssymmetrische Strömungen zu betrachten. Die Grundlagen des Verfahrens, welches für die Auffindung der Erhaltungsgleichungen benutzt wurde, sind in Anco et al. (2010) beschrieben. Diese Methode basiert auf zwei Ideen: die Anwendung des Euleroperators und das Bestimmen der Multiplikatoren für ein gegebenes Gleichungssystem. Die Berechnung von lokalen Erhaltungsgrößen wird mit dem Unterprogramm GeM realisiert, welches in das Softwareprogramm Maple eingebunden wird. Um aus der lokalen Formulierung der Erhaltungssätze die globalen Erhaltungsgleichungen zu bekommen, müssen die lokalen Erhaltungsgrößen integriert werden. Die Integration wurde mittels direkter numerischer Simulation durchgeführt, mit einem Code HELIX (Delbende et al. 2012), welcher für die Stabilitätsuntersuchungen von Strömungen mit helikaler Symmetrie programmiert wurde. Durch die Annahme der helikalen Symmetrie können die dreidimensionalen Navier-Stokes Gleichungen zu einem zweidimensionalen Gleichungssystem reduziert werden. Die dem Code zugrundeliegende numerische Methode ist eine Verallgemeinerung der Wirbelstärke-Stromfunktion-Formulierung. In radialer Richtung wird die Finite-Differenzen-Methode benutzt, in azimutaler Richtung die Spektralzerlegung. Verglichen mit einem herkömmlichen Computerprogramm für dreidimensionale Probleme können höhere Reynoldszahlen erreicht werden. In dem analytischen Teil der vorliegenden Arbeit (Bestimmung der lokalen Erhaltungsgleichungen) hat man die instationären Euler- beziehungsweise Navier-Stokes Gleichungen in drei verschiedenen Formulierungen untersucht: in primitiven Variablen, in Stromfunktionformulierung und in Wirbelsärkeformulierung. Verschiedene neue Erhaltungsgleichungen, sowohl für reibungsfreie als auch für reibungsbehaftete Strömungen, konnten hergeleitet werden. Insbesondere für reibungsfreie Strömungen konnte man eine Familie von Erhaltungsgleichungen herleiten, welche die Helizität verallgemeinern. Der Spezialfall von Zweikomponentenströmung, bei der die Geschwindigkeitskomponente in die invariante Richtung zu Null gesetzt wird, ist ebenfalls betrachtet worden. Für diesen Fall wurden weitere neue Erhaltungsgleichungen konstruiert. Insbesondere konnte gezeigt werden, dass die für ebene Strömungen wohlbekannte Erhaltungsgleichungfamilie der verallgemeinerten Enstrophie auch im Fall der zweidimensionalen helikalen Strömung ihre Gültigkeit besitzt. Für die numerische Integration der lokalen Erhaltungsgleichungen wurden nur instationären Euler- und Navier-Stokes Gleichungen mit drei Geschwindigkeitskomponenten betrachtet. Die globalen Erhaltungseigenschaften konnten somit untersucht werden. Die übrigen Erhaltungsgrößen (Zweikomponentenströmungen) konnten nicht betrachtet werden, da die dem Code zugrundeliegenden Gleichungen alle drei Geschwindigkeitskomponenten benötigen. Es wird darauf hingewiesen, dass die analytischen Ergebnisse dieser Arbeit in Kelbin et al. (2013) veröffentlicht wurden.German
Export:
Suche nach Titel in: TUfind oder in Google
 Send an inquiry

#### Options (only for editors)

 View Item