Pfleiderer, Ralf (2006)
Analysis eines Drehprozesses.
Technische Universität Darmstadt
Dissertation, Erstveröffentlichung

Kurzbeschreibung (Abstract)

Die vorliegende Arbeit widmet sich dem Problem der Veränderungen des Stabilitätsgebiets und der Lösungen von Funktionaldifferentialgleichungen bei Variation des Delays. Das ist unter anderem dann von Interesse, wenn man den Drehprozess in der Metallverarbeitung mit der Umdrehungsdauer als Delay modelliert. In der anwendungsorientierten Literatur wird fast ausschließlich mit konstanten Delays gerechnet, obwohl man stets mit Drehzahlschwankungen in der Größenordnung von 2% zu rechnen hat. Hat man eine Untersuchung der Stabilitätsgebiete mit konstanten Delays vorgenommen, stellt man eine Abweichung der Messergebnisse von der Theorie fest. Als mögliche Ursache wurde in vorhergehenden Arbeiten die Schwankung des Delays r genannt. Die Zielsetzung der Dissertation war es, den Einfluss eines variablen Delays auf die Stabilitätsanalyse und die Lösungen einer solchen Modellgleichung zu klären. Um das Problem der Delayschwankungen analytisch erfassen zu können, wurde ausgehend von einem System mit einem Freiheitsgrad x ein Ansatz mit einem zweiten Freiheitsgrad Phi, dem Rotationsfreiheitsgrad des Werkstücks, und einem zustandsabhängigen Delay r(Phi_t) gewählt, wobei Phi_t die Vergangenheit von Phi(t) enthält. Das führte zu einer Funktionaldifferentialgleichung mit zustandsabhängigem Delay. Das dabei entstandene Delayfunktional r spielt die entscheidende Rolle. Der Nachweis der Differenzierbarkeit des Delayfunktionals unter schwachen Voraussetzungen kann als zentrale Stelle der vorliegenden Arbeit gelten. Die Linearisierung der rechten Seite der RFDE konnte damit bestimmt werden, und es stellte sich heraus, dass es sich dabei um eine RFDE mit konstantem Delay handelt. Damit war es möglich eine Stabilitätsanalyse durchzuführen, die ergab, dass die zustandsabhängige Variation des Delays keinen Einfluss auf die lineare Stabilität hat. Das bedeutet jedoch nicht, dass Delayvariationen keinen Einfluss auf den Verlauf der Lösungen haben, da sie als nichtlineare Einflüsse bei der linearen Stabilitätsanalyse außen vor bleiben. Über die Stabilitätsanalyse hinaus konnte eine Hopfbifurkation an der Stabilitätsgrenze in Abhängigkeit eines für den Anwender wichtigen Parameters k nachgewiesen werden. Das bedeutet, dass die Nulllösung der nichtlinearen Gleichung beim Überschreiten der Stabilitätsgrenze in eine instabile Nulllösung und eine periodische Lösung verzweigt. Diese periodische Lösung muss zwingend gegen Null strebende maximale Amplituden haben, wenn k von der instabilen Seite gegen die Stabilitätsgrenze strebt. Es wäre also denkbar, dass ein Streifen signifikanter Breite oberhalb der Grenze existiert, innerhalb dessen die periodische Lösung numerisch und experimentell als stabile Nulllösung fehlinterpretiert werden könnte. Schließlich wurde noch ein numerisches Lösungsverfahren verwendet, um Lösungen in der Nähe der Nulllösung zu visualisieren. Dabei ergab sich, dass tatsächlich Lösungen im instabilen Bereich zu existieren scheinen, die nahe am technisch relevanten Bereich starke Unterschiede zur Lösung der Linearisierung aufweisen. Insgesamt sind mit der vorliegenden Arbeit folgende Fortschritte erzielt worden: Die bisher offene Frage, ob Delayvariationen einen Einfluss auf die Stabilitätsgrenze haben, konnte weitgehend beantwortet werden. Im Falle autonomer Störungen aus einem gekoppelten zweiten Freiheitsgrad heraus ist keine Veränderung der Stabilitätsgrenze zu erwarten. Nichtautonome Störungen des Delays selbst, also ein explizit zeitabhängiger Delay, sind im vorliegenden Modell nicht enthalten. Sie stellen eine sehr künstliche Konstruktion dar, da man den Delay selbst nicht als zugängliche physikalische Größe vorliegen hat. Das zeigt sich durch den komplexen Zusammenhang zwischen der Drehwinkelfunktion mit dem Delay. Das entstandene Modell ist offen für die Implementierung weiterer Freiheitsgrade sowie nichtautonomer Störungen aller vorhandenen Freiheitsgrade. Ein weiterer Erfolg ist es, dass der Einfluss der Delayvariation im Rahmen einer nichtlinearen Analyse ein Stück weit geklärt werden konnte. Das ist schon bei ODE's eine sehr komplexe Aufgabe, weshalb der Nachweis der Hopfbifurkation als großer Fortschritt gewertet werden muss.

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