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Symmetry-based stability theory in fluid mechanics

Gebler, Tim (2023)
Symmetry-based stability theory in fluid mechanics.
Technische Universität Darmstadt
doi: 10.26083/tuprints-00023780
Dissertation, Erstveröffentlichung, Verlagsversion

Kurzbeschreibung (Abstract)

The present work deals with the stability theory of fluid flows. The central subject is the question under which circumstances a flow becomes unstable. Instabilities are a frequent trigger of laminar-turbulent transitions. Stability theory helps to explain the emergence of structures, e.g. wave-like perturbation patterns. In this context, the use of Lie symmetries allows the classification of existing and the construction of new solutions within the framework of linear stability theory. In addition, a new nonlinear eigenvalue problem (NEVP) is presented, whose derivation is completely based on Lie symmetries. In classical linear stability theory, a normal ansatz is used for perturbations. Another ansatz that has been shown in early work is the Kelvin mode ansatz. In the work of Nold and Oberlack (2013) and Nold et al. (2015) it was shown that these ansätze can be traced back to the Lie symmetries of the linearized perturbation equations. Interestingly, knowledge of the symmetries also allows for the construction of new ansatz functions that go beyond the known ansätze. For a plane rotational shear flow, in addition to the normal mode ansatz, an algebraic mode ansatz with algebraic behavior in time t^s (eigenvalue s) can be constructed. The flow is stable according to Rayleigh's inflection point criterion, which is also confirmed by the algebraic mode ansatz. Furthermore, exact solutions of the eigenfunctions can be found and new stable modes can be determined by asymptotic methods. Thereby, spiral-like structures of the vorticity can be recognized, which propagate in the region with time. Another key result of this work is the formulation and solution of an NEVP based on the Lie symmetries of the Euler equation. It can is shown that an NEVP can be formulated for a class of flows with a constant velocity gradient. These include, for example, linear shear flows, strained flows, and rotating flows. The NEVP for linear shear flows shows a relation to experimental data from turbulent shear flows. It can be theoretically shown that the turbulent kinetic energy scales exponentially with the eigenvalue of the NEVP. The eigenvalue is determined numerically using a parallel spectral solver. Initially, nonlinear terms are neglected. The determined eigenvalues are in the range of known literature values for turbulent shear flows. Furthermore, the NEVPs for plane flows with pure rotation and pure strain are solved. It is shown that the flow is invariant to rotation, while oscillatory eigenfunctions are found in the case of strain. In addition, an algorithm to solve the NEVP including the nonlinear terms is presented. The results allow an exciting insight into a new stability theory and form the basis for further investigation and understanding of the full nonlinear dynamics of the fluid flows based on the NEVP.

Typ des Eintrags: Dissertation
Erschienen: 2023
Autor(en): Gebler, Tim
Art des Eintrags: Erstveröffentlichung
Titel: Symmetry-based stability theory in fluid mechanics
Sprache: Englisch
Referenten: Oberlack, Prof. Dr. Martin ; Sadiki, Prof. Dr. Amsini
Publikationsjahr: 2023
Ort: Darmstadt
Kollation: xix, 123 Seiten
Datum der mündlichen Prüfung: 21 Juni 2022
DOI: 10.26083/tuprints-00023780
URL / URN: https://tuprints.ulb.tu-darmstadt.de/23780
Kurzbeschreibung (Abstract):

The present work deals with the stability theory of fluid flows. The central subject is the question under which circumstances a flow becomes unstable. Instabilities are a frequent trigger of laminar-turbulent transitions. Stability theory helps to explain the emergence of structures, e.g. wave-like perturbation patterns. In this context, the use of Lie symmetries allows the classification of existing and the construction of new solutions within the framework of linear stability theory. In addition, a new nonlinear eigenvalue problem (NEVP) is presented, whose derivation is completely based on Lie symmetries. In classical linear stability theory, a normal ansatz is used for perturbations. Another ansatz that has been shown in early work is the Kelvin mode ansatz. In the work of Nold and Oberlack (2013) and Nold et al. (2015) it was shown that these ansätze can be traced back to the Lie symmetries of the linearized perturbation equations. Interestingly, knowledge of the symmetries also allows for the construction of new ansatz functions that go beyond the known ansätze. For a plane rotational shear flow, in addition to the normal mode ansatz, an algebraic mode ansatz with algebraic behavior in time t^s (eigenvalue s) can be constructed. The flow is stable according to Rayleigh's inflection point criterion, which is also confirmed by the algebraic mode ansatz. Furthermore, exact solutions of the eigenfunctions can be found and new stable modes can be determined by asymptotic methods. Thereby, spiral-like structures of the vorticity can be recognized, which propagate in the region with time. Another key result of this work is the formulation and solution of an NEVP based on the Lie symmetries of the Euler equation. It can is shown that an NEVP can be formulated for a class of flows with a constant velocity gradient. These include, for example, linear shear flows, strained flows, and rotating flows. The NEVP for linear shear flows shows a relation to experimental data from turbulent shear flows. It can be theoretically shown that the turbulent kinetic energy scales exponentially with the eigenvalue of the NEVP. The eigenvalue is determined numerically using a parallel spectral solver. Initially, nonlinear terms are neglected. The determined eigenvalues are in the range of known literature values for turbulent shear flows. Furthermore, the NEVPs for plane flows with pure rotation and pure strain are solved. It is shown that the flow is invariant to rotation, while oscillatory eigenfunctions are found in the case of strain. In addition, an algorithm to solve the NEVP including the nonlinear terms is presented. The results allow an exciting insight into a new stability theory and form the basis for further investigation and understanding of the full nonlinear dynamics of the fluid flows based on the NEVP.

Alternatives oder übersetztes Abstract:
Alternatives AbstractSprache

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der Stabilitätstheorie von Strömungen. Zentraler Gegenstand ist die Fragestellung, unter welchen Umständen eine Strömung instabil wird. Instabilitäten sind ein häufiger Auslöser laminar-turbulenter Transitionen. Die Stabilitätstheorie hilft ferner die Entstehung von Strukturen, z.B. wellenartigen Störungsmustern, zu erklären. Die Verwendung von Lie-Symmetrien erlaubt dabei die Klassifizierung bestehender und die Konstruktion neuer Lösungsansätze im Rahmen der linearen Stabilitätstheorie. Zudem wird ein neues nichtlineares Eigenwertproblem (englisch: nonlinear eigenvalue problem, kurz: NEVP) vorgestellt, dessen Herleitung vollständig auf Lie-Symmetrien basiert. In der klassischen linearen Stabilitätstheorie werden Störungen in Form von Normal-Moden als Ansatz verwendet. Ein weiterer Ansatz, der bereits in frühen Arbeiten gezeigt wurde, ist der Kelvin-Moden-Ansatz. In der Arbeit von Nold und Oberlack (2013) und Nold et al. (2015) konnte gezeigt werden, dass sich diese Ansätze auf die Lie-Symmetrien der linearisierten Störungsgleichungen zurückführen lassen. Interessanterweise erlaubt die Kenntnis der Symmetrien zudem die Konstruktion neuer Ansatzfunktionen, die über die bekannten Ansätze hinausgehen. Für eine ebene rotationssymmetrische Strömung mit Geschwindigkeitsprofil in Umfangsrichtung kann neben dem Normal-Moden-Ansatz ein weiterer Ansatz mit einem algebraischen Verhalten in der Zeit t^s (Eigenwert s) konstruiert werden. Die Strömung ist dabei stabil gemäß dem Wendepunktkriterium von Rayleigh, was auch durch den algebraischen Ansatz bestätigt wird. Weiterhin können exakte Lösungen der Eigenfunktionen gefunden werden. Mit Hilfe asymptotischer Methoden lassen sich zudem neue stabile Moden bestimmen. Dabei sind spiralartige Strukturen der Wirbelstärke zu erkennen, die sich mit der Zeit im Gebiet ausbreiten. Ein weiteres zentrales Ergebnis dieser Arbeit ist die Formulierung und Lösung eines NEVP basierend auf den Lie-Symmetrien der Euler-Gleichung. Es kann gezeigt werden, dass für eine Reihe von Grundströmungen mit einem konstanten Geschwindigkeitsgradienten ein NEVP formuliert werden kann. Dazu zählen beispielsweise lineare Scherströmungen, Strömungen unter Kontraktion und Expansion oder rotierende Strömungen. Das NEVP für lineare Scherströmungen zeigt dabei einen Bezug zu experimentellen Daten aus turbulenten Scherströmungen. Es kann theoretisch gezeigt werden, dass die turbulente kinetische Energie exponentiell mit dem Eigenwert des NEVP skaliert. Der Eigenwert wird numerisch mit Hilfe eines parallelen Spektrallösers bestimmt. Dabei werden zunächst nichtlineare Terme vernachlässigt. Die ermittelten Eigenwerte liegen im Bereich von Literaturwerten turbulenter Scherströmungen. Außerdem werden NEVP für ebene rotierende und ebene gestreckte Strömungen gelöst. Dabei zeigt sich, dass die Strömung invariant gegenüber ebener Rotation ist, während im Fall ebener Streckung oszillierende Eigenfunktionen gefunden werden. Abschließend werden nichtlineare Terme berücksichtigt und diesbezüglich ein Lösungsalgorithmus entwickelt. Zusammenfassend erlauben die Ergebnisse einen spannenden Einblick in eine neue Stabilitätstheorie und bilden die Basis für weitere Untersuchung und das Verständnis der vollständigen nichtlinearen Dynamik von Strömungen auf Basis des NEVP.

Deutsch
Status: Verlagsversion
URN: urn:nbn:de:tuda-tuprints-237805
Sachgruppe der Dewey Dezimalklassifikatin (DDC): 600 Technik, Medizin, angewandte Wissenschaften > 620 Ingenieurwissenschaften und Maschinenbau
Fachbereich(e)/-gebiet(e): 16 Fachbereich Maschinenbau
16 Fachbereich Maschinenbau > Fachgebiet für Strömungsdynamik (fdy)
Hinterlegungsdatum: 05 Mai 2023 08:19
Letzte Änderung: 08 Mai 2023 05:31
PPN:
Referenten: Oberlack, Prof. Dr. Martin ; Sadiki, Prof. Dr. Amsini
Datum der mündlichen Prüfung / Verteidigung / mdl. Prüfung: 21 Juni 2022
Export:
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