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Optimale Folgeregelung über unendliche Horizonte und optimale Output Regulation für quadratische, über- und unteraktuierte Systeme

Bernhard, Sebastian (2020):
Optimale Folgeregelung über unendliche Horizonte und optimale Output Regulation für quadratische, über- und unteraktuierte Systeme.
Darmstadt, Technische Universität,
DOI: 10.25534/tuprints-00011835,
[Ph.D. Thesis]

Abstract

Aus Sicherheitsaspekten haben viele technische Anwendungen mehr Aktoren, als zum Erreichen eines Regelzieles, wie etwa das Folgen einer Solltrajektorie durch den Systemausgang, nötig sind. Solche überaktuierten Systeme sollten dann die überzähligen Aktoren möglichst effizient einsetzen, um Stellenergie zu sparen. Weist ein System hingegen keine Redundanz auf, dann wird es das genannte Regelziel nach einem Aktorausfall und aufgrund der daraus entstandenen Unteraktuierung meist verfehlen. Eine effiziente Regelung solcher unteraktuierten Systeme sollte dann die geringstmögliche Energie der Abweichungen von der Solltrajektorie erzielen. Bisher existieren für diese beiden Systemklassen jedoch keine unkomplizierten Ansätze für den Entwurf sowie die Implementierung von effizienten Folgeregelungen.

Beide Problemstellungen können als ein linear-quadratisches optimales Folgeregelungsproblem über einen unendlichen Horizont formuliert werden. Das zugeordnete Kostenfunktional erlaubt eine freie Gewichtung der Stellenergie und der Energie der Abweichungen von der Solltrajektorie. Eine Minimierung dieses Kostenfunktionals ist jedoch unmöglich, da es im Allgemeinen für jede Regelung mit zunehmender Zeit gegen unendlich strebt. Stattdessen wird eine Regelung gesucht, die jede andere mit zunehmender Zeit im Sinne niedrigerer akkumulierter Kosten überholt. Diese Eigenschaft wird als überholende Optimalität bezeichnet. Aus den notwendigen Optimalitätsbedingungen hierzu werden systematisch algebraische Entwurfsgleichungen in neuer Form abgeleitet, die auf eine zeitinvariante Regelung in Zwei-Freiheitsgrade-Struktur führen. Die bisherige Theorie erweiternd wird anschließend deren überholende Optimalität mithilfe der Variationsrechnung unter der Annahme beschränkter Soll- und Störgrößen bewiesen. Trifft diese Annahme nicht zu, so wird hergeleitet, dass diese Regelung ein Agreeable Plan ist. Dies bedeutet, dass sie über jeden hinreichend langen endlichen Horizont die zugehörige optimale Folgeregelung approximiert. Unter einer sinnvollen Anforderung an die Eigenwerte des geschlossenen Regelkreises wird daraus abgeleitet, dass ihre Implementierung auch im Falle unbeschränkter Soll- und Störgrößen empfehlenswert ist. Auf Basis der hergeleiteten Eigenschaften, des unkomplizierten Entwurfs und der simplen, zeitinvarianten Reglerstruktur wird die optimale Folgeregelung über unendliche Horizonte als der einheitliche Ansatz herausgearbeitet, der gleichermaßen die Zielstellungen für über- und unteraktuierte Systeme erreicht.

Davon ausgehend wird die Output Regulation Theorie, die zum Entwurf exakter Folgeregelungen dient, für beschränkte Soll- und Störgrößen auf über- und unteraktuierte Systeme erweitert. Zur optimalen Output Regulation werden neue Regulatorgleichungen hergeleitet und es wird belegt, dass diese unter üblichen Annahmen lösbar sind. Für überaktuierte Systeme lässt sich mit diesen eine exakte Folgeregelung mit minimalem Mittelwert der Stellenergie entwerfen, wohingegen für unteraktuierte Systeme die Folgeregelung mit minimaler mittlerer Energie des Folgefehlers bestimmt wird. Für die gefundenen Folgeregelungen wird durch Grenzwertbetrachtungen der Gewichte des Kostenfunktionals nachgewiesen, dass diese Sonderfälle von überholend optimalen Folgeregelungen über unendliche Horizonte sind. Auf gleiche Weise wird für quadratische Systeme, die genauso viele Aktoren besitzen, wie zur Erreichung des Regelzieles notwendig sind, die Erkenntnis gewonnen, dass eine exakte Folgeregelung als Grenzwert aus einer überholend optimalen Folgeregelung hervorgeht. Damit wird die erweiterte Output Regulation Theorie in die Theorie optimaler Folgeregelungen eingebettet.

Ein wesentlicher Beitrag dieser Arbeit besteht darin, dass der Entwurf und die Implementierung von optimalen Folgeregelungen für über- und unteraktuierte Systeme mithilfe der entwickelten Verfahren nicht komplexer sind als für quadratische Systeme. Darüber hinaus sind sie unter üblichen Bedingungen immer möglich. Durch die umfassenden Analysen der Annahmen, Lösbarkeit, Optimalität und weiteren Eigenschaften sowie der Zusammenhänge von exakten und optimalen Folgeregelungen trägt diese Arbeit zu einer Vereinheitlichung der Theorie von Folgeregelungen für lineare Systeme bei.

Item Type: Ph.D. Thesis
Erschienen: 2020
Creators: Bernhard, Sebastian
Title: Optimale Folgeregelung über unendliche Horizonte und optimale Output Regulation für quadratische, über- und unteraktuierte Systeme
Language: German
Abstract:

Aus Sicherheitsaspekten haben viele technische Anwendungen mehr Aktoren, als zum Erreichen eines Regelzieles, wie etwa das Folgen einer Solltrajektorie durch den Systemausgang, nötig sind. Solche überaktuierten Systeme sollten dann die überzähligen Aktoren möglichst effizient einsetzen, um Stellenergie zu sparen. Weist ein System hingegen keine Redundanz auf, dann wird es das genannte Regelziel nach einem Aktorausfall und aufgrund der daraus entstandenen Unteraktuierung meist verfehlen. Eine effiziente Regelung solcher unteraktuierten Systeme sollte dann die geringstmögliche Energie der Abweichungen von der Solltrajektorie erzielen. Bisher existieren für diese beiden Systemklassen jedoch keine unkomplizierten Ansätze für den Entwurf sowie die Implementierung von effizienten Folgeregelungen.

Beide Problemstellungen können als ein linear-quadratisches optimales Folgeregelungsproblem über einen unendlichen Horizont formuliert werden. Das zugeordnete Kostenfunktional erlaubt eine freie Gewichtung der Stellenergie und der Energie der Abweichungen von der Solltrajektorie. Eine Minimierung dieses Kostenfunktionals ist jedoch unmöglich, da es im Allgemeinen für jede Regelung mit zunehmender Zeit gegen unendlich strebt. Stattdessen wird eine Regelung gesucht, die jede andere mit zunehmender Zeit im Sinne niedrigerer akkumulierter Kosten überholt. Diese Eigenschaft wird als überholende Optimalität bezeichnet. Aus den notwendigen Optimalitätsbedingungen hierzu werden systematisch algebraische Entwurfsgleichungen in neuer Form abgeleitet, die auf eine zeitinvariante Regelung in Zwei-Freiheitsgrade-Struktur führen. Die bisherige Theorie erweiternd wird anschließend deren überholende Optimalität mithilfe der Variationsrechnung unter der Annahme beschränkter Soll- und Störgrößen bewiesen. Trifft diese Annahme nicht zu, so wird hergeleitet, dass diese Regelung ein Agreeable Plan ist. Dies bedeutet, dass sie über jeden hinreichend langen endlichen Horizont die zugehörige optimale Folgeregelung approximiert. Unter einer sinnvollen Anforderung an die Eigenwerte des geschlossenen Regelkreises wird daraus abgeleitet, dass ihre Implementierung auch im Falle unbeschränkter Soll- und Störgrößen empfehlenswert ist. Auf Basis der hergeleiteten Eigenschaften, des unkomplizierten Entwurfs und der simplen, zeitinvarianten Reglerstruktur wird die optimale Folgeregelung über unendliche Horizonte als der einheitliche Ansatz herausgearbeitet, der gleichermaßen die Zielstellungen für über- und unteraktuierte Systeme erreicht.

Davon ausgehend wird die Output Regulation Theorie, die zum Entwurf exakter Folgeregelungen dient, für beschränkte Soll- und Störgrößen auf über- und unteraktuierte Systeme erweitert. Zur optimalen Output Regulation werden neue Regulatorgleichungen hergeleitet und es wird belegt, dass diese unter üblichen Annahmen lösbar sind. Für überaktuierte Systeme lässt sich mit diesen eine exakte Folgeregelung mit minimalem Mittelwert der Stellenergie entwerfen, wohingegen für unteraktuierte Systeme die Folgeregelung mit minimaler mittlerer Energie des Folgefehlers bestimmt wird. Für die gefundenen Folgeregelungen wird durch Grenzwertbetrachtungen der Gewichte des Kostenfunktionals nachgewiesen, dass diese Sonderfälle von überholend optimalen Folgeregelungen über unendliche Horizonte sind. Auf gleiche Weise wird für quadratische Systeme, die genauso viele Aktoren besitzen, wie zur Erreichung des Regelzieles notwendig sind, die Erkenntnis gewonnen, dass eine exakte Folgeregelung als Grenzwert aus einer überholend optimalen Folgeregelung hervorgeht. Damit wird die erweiterte Output Regulation Theorie in die Theorie optimaler Folgeregelungen eingebettet.

Ein wesentlicher Beitrag dieser Arbeit besteht darin, dass der Entwurf und die Implementierung von optimalen Folgeregelungen für über- und unteraktuierte Systeme mithilfe der entwickelten Verfahren nicht komplexer sind als für quadratische Systeme. Darüber hinaus sind sie unter üblichen Bedingungen immer möglich. Durch die umfassenden Analysen der Annahmen, Lösbarkeit, Optimalität und weiteren Eigenschaften sowie der Zusammenhänge von exakten und optimalen Folgeregelungen trägt diese Arbeit zu einer Vereinheitlichung der Theorie von Folgeregelungen für lineare Systeme bei.

Place of Publication: Darmstadt
Divisions: 18 Department of Electrical Engineering and Information Technology
18 Department of Electrical Engineering and Information Technology > Institut für Automatisierungstechnik und Mechatronik
18 Department of Electrical Engineering and Information Technology > Institut für Automatisierungstechnik und Mechatronik > Control Methods and Robotics
Date Deposited: 15 Jul 2020 07:40
DOI: 10.25534/tuprints-00011835
Official URL: https://tuprints.ulb.tu-darmstadt.de/11835
URN: urn:nbn:de:tuda-tuprints-118356
Additional Information:

Zeitinvariante optimale Folgeregelung, Output Regulation, Output Regulation als Spezialfall von optimalen Folgeregelungen, Neue Regulatorgleichungen, Zwei-Freiheitsgrade Struktur, Unbeschränkte quadratische Kostenfunktionale, Überholende Optimalität, Optimales stationäres Verhalten, Notwendige Optimalitätsbedingungen über unendliche Horizonte, Agreeable Plan, Turnpike, Turnpike-Eigenschaft, Variationsrechnung, Algebraische Riccatigleichung, Sylvestergleichung, Hamiltonsches System, Invariante Nullstellen, Exosystem, Störungen, Solltrajektorie, Überaktuierung, Unteraktuierung, Beschränkte Folgefehler, Statisches Optimierungsproblem, Semidefinite Programmierung, Lineare Matrizenungleichungen, Bilineare Matrizenungleichungen, Optimale Steuerung, Optimale Regelung, Trajektorienfolgeregelung, Economic Model Predictive Control (EMPC), Heterogene Multi-Agenten-Systeme, Adaptive dynamic programming (ADP), Unbekannte Systemdynamik, Entkopplungsregelung für überaktuierte Systeme,

Time-invariant optimal tracking control, Ouput regulation as a special case of optimal tracking, New regulator equations, Two-degree-of-freedom controller, Unbounded linear-quadratic cost, Overtaking optimality, Optimal stationary behavior, Necessary optimality conditions on infinite horizons, Turnpike property, Calculus of variations, Variational methods, Algebraic Riccati equation (ARE), Sylvester equation, Hamiltonian system, Invariant zeros, Non-resonance condition, Exogenous system, Time-varying references, Disturbances, Overactuation, Underactuation, Overactuated systems, Underactuated systems, Infinite horizon, Bounded tracking errors, Static optimization problem, Semidefinite programming (SDP), Linear matrix inequalities (LMI), Bilinear matrix inequalities (BMI), Optimal control, Trajectory tracking control, Reducible to regulator problem, Heterogeneous multi-agent-systems, Unknown system dynamics, Decoupling control for overactuated systems

Referees: Adamy, Prof. Dr. Jürgen and Lunze, Prof. Dr. Jan
Refereed / Verteidigung / mdl. Prüfung: 3 March 2020
Alternative Abstract:
Alternative abstract Language
To increase safety, many technical applications have more actuators than needed to achieve their control objectives such as tracking output references and attenuating disturbances. Tracking controllers for these over-actuated systems should use the additional actuators to save as much input energy as possible. Without this redundancy, any actuator loss causes an under-actuation and the system usually fails to reach the given goal. Hence, for under-actuated systems, tracking controllers should attain the lowest feasible energy of the tracking error instead. So far, however, a simple approach for the design and the implementation of tracking controllers for these types of systems does not exist. As a starting point we formulate a linear-quadratic optimal tracking problem over an infinite horizon. The corresponding cost functional allows to weigh the tracking error energy and the control input energy. Its minimization, however, is infeasible in general since it will grow constantly with time and diverge eventually for every chosen control. Thus, we seek a control that overtakes any other control in the sense that its accumulated cost is lower over every sufficiently long horizon. This property is known as overtaking optimality. Starting from necessary optimality conditions, we derive methodically a new set of algebraic design equations that yield a time-invariant control. As our contribution to the theory, we prove by the calculus of variations that the resulting control is overtaking optimal in the case of bounded references and disturbances. If these are unbounded instead, we show that our control is an agreeable plan. That is, it approximates every optimal tracking controller that belongs to a sufficiently long finite horizon. Hence, it is recommended to implement our control even when unbounded references and disturbances are present provided that a common assumption is satisfied by the closed loop eigenvalues. Based on these properties, the uncomplicated control design and the simple, time-invariant control structure, it is verified that the optimal tracking controller over an infinite horizon is the unifying approach that allows to achieve the goals of both, over- and under-actuated systems. Based on these results, we extend the output regulation theory, which is used for designing exact tracking controllers, for over- and under-actuated systems. When bounded references and disturbances are regarded, optimal output regulation is achieved by solving new regulator equations that we derive. The solution is feasible under standard assumptions. For over-actuated systems it results in an exact tracking controller that minimizes the average input energy. Whereas for under-actuated systems we obtain a controller that minimizes the average tracking error energy. By utilizing the weights of the cost functional it is shown that both optimal controllers are limits of overtaking optimal controllers over infinite horizons. In the same way we obtain the new insight that exact tracking controllers for square systems, which have equally many inputs as outputs, are also limits of optimal tracking controllers. Thus, the extended output regulation theory is effectively included in the theory of optimal tracking controllers as a special case. As a main contribution, the design and implementation of optimal tracking controllers for over- and under-actuated systems by our newly developed methods is as simple as for square systems and, in addition, it is feasible under common assumptions. Based on our detailed analysis of assumptions, solvability, optimality and other properties as well as of the connection between exact and optimal tracking controllers, our work contributes to a unified theory of tracking controllers for linear systems.English
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